巧解双曲线的离心率问题

李建生

摘 要：通过列举各种方法求解双曲线离心率问题，让学生掌握解决双曲线离心率的方法与技巧

关键词：直接法 通径法 几何法 设而不求法 导数法

双曲线的离心率是双曲线非常重要的性质，属于高考高频考点，重要性不言而喻。高考主要题型是求解双曲线的离心率或求双曲线离心率的取值范围。

方法引导：

1.求双曲线的离心率，解题关键是寻找a与c、a与b或b与c满足的等式

结合得到，

也可以根据条件列含的齐次方程求解，注意双曲线离心率的范围对解进行取舍。

2.求解双曲线的离心率的取值范围，一般根据已知条件、双曲线上的点到顶点和焦点的距离的最值、三角形两边之和大于第三边等列出a、c满足的不等式求解，同样注意双曲线离心率的取值范围是。

典例分析，融合贯通

一、求离心率

典例1[2016年山东卷理科第13题]已知双曲线

，

若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率为：

[解法1]直接法：根据已知条件直接列出的关系式

由题意，所以，

于是点在双曲线E上，代入方程，得，

在由得的离心率为.

[解法2]通径法：根据通径直接求出相关弦长

易得，，所以，

由，得离心率或（舍去），所以离心率为

典例2：已知F1，F2分别是双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点.若△ABF2为直角三角形，则双曲线的离心率为（）

几何法：根据几何关系找出的关系式

解析：∵△ABF2是直角三角形，

∴∠AF2F1=45°，

|AF1|=|F1F2|，=2c.

∴b2=2ac，∴c2-a2=2ac，∴e2-2e-1=0.

解得e=1±.又e>1，

∴e=1+.

所以選A

二、求离心率的范围

典例3：

[2018湖南省永州市一模]已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，点为的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）

A. B. C. D.

直接法：根据题目已知条件列出关于a与c的不等式解析

如图，设圆与的三边、、分别相切于点，连接、、，则，

它们分别是的高

其中是的内切圆的半径

因为所以，

两边约去得，

根据双曲线定义，得，离心率为，双曲线的离心率取值范围为，故选A.

典例4：已知双曲线C：-=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2=8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为

A.（1，3]B.[3，+∞）C.（0，3）D.（0，3]

几何法：先求出，再利用三角形两边之和大于第三边列出不等式

[解析]根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|-|PF2|=2a，设|PF1|=m，|PF2|=n，则m-n=2a，m2=8an，∴m2-4mn+4n2=0，

∴m=2n，则n=2a，m=4a，

依题得|F1F2|≤|PF1|+|PF2|，当且仅当P，F1，F2三点共线时等号成立，∴2c≤4a+2a，∴e=≤3，又e>1，∴1

即双曲线C的离心率的取值范围为（1，3].选A.