一类压缩型映射的不动点定理

李新宇 王艺

摘要：在完备的b-度量空间中，利用Picard迭代的方法，证明了一类特殊的压缩型映射不动点的存在性和唯一性。

关键词： b-度量空间;不动点;压缩映射

1.引言

不动点理论是非线性分析发展的重要课题之一，1922年，Banach在完备的度量空间中证明了著名的Banach压缩映像原理。其后，关于不动点理论的研究集中在完备的度量空间中。1993年，Banach[1]和Czerwik[2]提出b-度量空间的概念，并在此空间证明了压缩映射存在着唯一不动点。1993年，Vasile[3]推廣了Banach和Czerwik的结果，证明了在完备的度量空间中一类压缩型映射的不动点唯一。2013年，Mehmet和Hiikmi[4]研究了Kannan[5]型和Chatlerjea[6]型压缩映射的不动点问题。在完备的b-度量空间中，利用Picard迭代的方法，证明了一类特殊的压缩型映射不动点的存在性和唯一性。

2.预备知识

定义2.1[4]设X是一个非空集合，映射X×X→R+，对满足：

① ② ③

则（x，d）是一个b-度量空间。

定义2.2[4]设（X，d）是一个b-度量空间，X上的序列{xn}叫柯西序列，当且仅当如果对任意，存在N，对任意，有.若柯西序列收敛，则b-度量空间完备。

定义2.3[4] 设E是一个任意集合，T∶E→是一个自映射。对任意的，序列，，，称为从初始值x0开始的Picard迭代序列。

3.b-度量空间中的不动点定理

定理3.1 设（X，d）是一个系数s≥1的完备的b-度量空间， T是X的自映射，满足

其中h∈（0，1）的常数，hs∈（0，1），则存在唯一的一点x*，使得。

证明 令x0∈X且定义为X中的序列，满足，

由T可得，使

由于h∈（0，1），显然上式中最大值为d（x0，x1），所以

同理得。下证为柯西序列，令m>n>0，则

当n，m趋近于∞时，xn与xm之间的距离趋近于零，故该序列为柯西列。

设次序列收敛于.下证x*为T的不动点

若上式中最大值为则

由序列收敛于x*，所以x*与xn+1之间的距离趋近于零。又，故x*与Tx*之间的距离趋近于零，即Tx*=x*

若最大值d（x*，Tx*）为则

即Tx*=x*，所以x*是T的一个不动点。

设x'是另一个不动点，即Tx'=x'. 由不等式（3.1）

所以x*=x'，即x*为唯一的不动点.

参考文献：

[1] Bakhtin， I.A.The contraction mapping principle in quasimetric spaces. Funct.Anal. Unianowsk Gos. Ped. Inst. 30，26- 37 （1989）.

[2] Czerwik，S. Contraction mappings in b-metric spaces.Acta Mathematica Et Informatica Universitatis Ostraviensis 1，5-11 （1993）.

[3]Vasile I. Istratescu，Fixed Point Theory，An Introduction， D.Reidel，the Netherlands （1981）.

[4]Mehmet，Hükmi.On Some Well Known Fixed Point Theorems in b-Metric Spaces[J]. Turkey，2013.13-16.

[5]Kannan，R. Some results on fixed points.Bull. Calcutta Math.Soc.60， 1968.71-76.

[6]Chatterjea， S. K. Fixed point theorems，C.R. Acad. Bulgare Sci. 25，1972. 727-730.

[7]张石生.不动点理论及其应用[M].重庆：重庆出版社.1984.8-50.