六枚硬币问题

崔海 黄鲁坤 申朋 李栋 刘晓雨

在高中数学里面，我们大体了解了什么是概率，以及一些涉及概率的基本问题。因为高考对于概率的难度要求并不高，所以很多同学可能会认为，概率的难度不过如此。那么，我们现在来探讨一下，用高中数学范围内所学过的概率内容，可以玩出怎样的花样。

我们来看这个问题：赛尔号的闯关关卡中，经常出现这样的关卡。建立数学模型后为：现在有六枚硬币，均为正面朝上，反面朝下的状态。每次随机翻动其中的三枚硬币，使得这三枚硬币的正反面状态改变，从数学期望上来讲，经过几次翻动，可以使得这六枚硬币全部变为正面朝下，反面朝上的状态？

这个题目咋看之下，难度是很低的，过程很简单，就只是翻动硬币，改变他们的正反面状态而已。但仔细一思考，有的同学可能就不知道下一步该怎么求了。其实我们完全可以慢慢思考这个问题。首先，我们探讨的是硬币的正反面状态，既然要求硬币的正反面状态，那么我们可以把所有正面向上的硬币和所有反面向上的硬币分成两组，并对各自的每一组一概而论，而不用对每一组内部的具体哪一枚硬币做出具体的区分。这样，我们就可以把现在硬币的状态设为（x，y），意为现有x枚硬币正面朝上，y枚硬币反面朝上，那么就有 x+y=6，且初始状态为（6，0）。接下来，就是翻动硬币的过程，在第一次翻动之前，由于只有六枚正面朝上的硬币，因此，第一次翻动硬币时，必定为将三枚正面朝上的硬币翻动为反面向上的硬币。或者说，经过第一次翻动，有状态必定为由（6，0）变为（3，3）。而第二次翻动时的状态就会出现多种情况了，而具体会出现什么情况，我们不妨来考虑一下翻动三枚硬币意味着什么。我们来延伸考虑一下这个问题，假设翻动n枚硬币意味着什么？假设翻动n枚硬币，那么就有a枚硬币由正面朝上变为反面朝上，有b枚硬币由反面朝上变为正面朝上，且有 a+b=n，而本質上，每翻动两个状态不同的硬币，其实相当于互相抵消，对总的状态不构成影响。也就是说，翻动n枚硬币，相当于把正面朝上或者反面朝上的硬币翻动n枚、n-2枚、n-4枚......直到翻动一或二枚或者此状态的硬币不在支持翻动为止。那么我们在回到刚才第二次翻动硬币的这个问题，就相当于随机翻动硬币，使得硬币的状态变为（6，0）、（0，6）、（4，2）、（2，4）。其中（6，0）相当于回到了初始状态，（0，，6）则为最终状态。当状态为（4，2）或（2，4）时再翻动，状态会变为（1，5）、（5，1）、（3，3）。状态为（1，5）、（5，1）时再翻动，状态会变为（2，4）、（4，2）。而每一种状态变更为另一种状态的概率，可以用组合数的比值求得。换句话说，是用符合要求的情况数量比上所有可能的情况数量。我们以状态（4，2）变化为状态（3，3）为例来说明一下。在这个变化过程中，有两枚硬币由正面向上变为反面向上，有一枚硬币由反面向上变更为正面向上。那么概率应为=0.6，同理可得其他状态变化的概率。

此时便可得由（6，0）到（0，6）的过程中的所有情况：由（6，0）到（3，3）。（3，3）到（0，6）完成过程。由（3，3）到（6，0）重新翻动。由（3，3）到（4，2）或（2，4），再回到（3，3）重新翻动。由（2，4）或（4，2）到（1，5）或（5，1），再返回（2，4）或（4，2）重新翻动。这样其实本质上可以这样区分，在第一步翻动之后，最后一步翻动完成之前，在持续一个由（3，3）回到（3，3）的过程。这个过程可能进行一次，也有可能进行两次，进行三次、四次、五次直到正无穷次。我们只要分析出每一步所需要的步骤数的数学期望，再相加，就可以知道总的数学期望步骤数。对于某种可能的步骤数进行分析，这种情况下所用的步骤数为。其中α表示无效且不在本次研究范围内的循环所发生的概率，Β表示无效且在本次研究范围内的循环所发生的概率，表示跳出循环通向成功的概率，也就是说等于0.05。表示当前所研究的无效循环每次所需要消耗的步骤数，表示当前所研究的无效循环所发生的概率。这样，这个式子就表示出了每一步所需要的步骤数的数学期望，且符合数学期望的定义。

列出式子后，下一步就是这个式子的解法问题。我们先来观察这个式子的特点，有两个概率的幂从零依次增加，后面还有一个组合数，再乘以两个常数以及β。那么我们首先想到二项式定理。二项式定理要求α与β之和为常数，那么我们可以分为不同的情况，令

α+β=m，则m的值会分别为0、1、2、3、......。当m等于0时，则此时对应式子也为0。当m为大于0的每一个取值时，式子的α与β的和也会产生定值，进一步可以说这就是二项式定理的一个部分的幂β依次加一，另一个部分（m-β）依次减一。式子就会类似于二项式定理的展开式，但是与之不同的是，相比起二项式定理，此时的式子还多一个因数β，因此我们只需要想办法将之变形为我们熟悉的二项式定理的形式。我们将（）变形为，并进一步变形为。利用乘法分配律，将式子中作为幂出现的β减去1，提取到Σ之前作为因数。则变形后，符合二项式定理的结构，根据m取值的不同，构建出了无数个二项式定理的展开式。求出这无数个值来之后，我们会发现，根据m取值的不同，这些值又构成了一个无穷数列，而我们要求出这个无穷数列的所有项的和。我们观察这个数列可以发现，这个数列，是一个等比数列乘以等差数列的形式，因此，我们又可以根据错位相减法，求出他们的和。错位相减法是一种比较经典的方法，但不是我们这里所研究的重点，就不再加以赘述。

这并不算完，我们目前所求的，仅仅是无数种情况里面的其中一种，但事实上，有着无穷多种可能失败的情况，我们只求了一种。但其实这并没有什么问题，因为虽然有无穷多种情况，但是，这无穷多种可能的情况，构成的依旧是一个等比数列乘以等差数列的情况，以及一个剩余的两次翻动，依旧可以用错位相减法求出。最后，再加上最一开始所必定消耗的的一步，也就是从（6，0）到（3，3）的一步。以及最后一步，也就是从（3，3）到（0，6）的一步。这样，合计一共是使用了六十四步。换句话说，从数学期望上来讲，我们一共需要翻动六十四次，就可以将六枚正面朝上的硬币，变更为反面朝上的硬币。这样，这个题目就算是完成了。

这个题目其实还是蛮有意思的，属于那种咋看之下并不难，但实际求解的时候，会发现并不是太容易的例子。