结式在分片代数曲线的研究

龚佃选 张静

【摘要】分片代数曲线为二元样条函数的零点集合，下面主要利用MATLAB程序，探讨结式定理在分片代数曲线中的研究，并通过具体实例证明结式定理在求分片代数曲线的Bezout数的过程中存在着缺陷.

在计算几何以及数学分析中，利用多元样条函数对给定散乱数据进行插值是一个重要的课题[1]，在多元样条函数的插值的过程中，如何选取适当的插值结点组是一个关键的问题，因为并不是对任意给定的插值结点组，多元样条插值的存在都是唯一的，王仁宏、Oleg Davydov等学者在构造多元样条函数插值结点组以及插值结点组的适定性等方面做了大量的研究[2]，由于样条函数的插值结点组的适定性十分困难，王仁宏教授首先提出了分片代数曲线（piecewise algebraic curves）的概念.

分片代数曲线的Bezout定理是传统代数几何的开卷定理，例如，Cayley-Bacharach定理、Riemann-Roch定理等经典代数几何中的重要结论在分片代数曲线理论中的推广必须以分片代数曲线Bezout定理为基础[3]，CAGD中大量的曲线类型是样条曲线，确定两条样条曲线的交点个数是CAGD中的重要问题之一，其实质就是求分片代数曲线的Bezout数[4]，因此，研究两条分片代数曲线的Bezout数具有重要的理论和应用意义，本文主要利用MATLAB程序，探讨结式定理在分片代数曲线Bezout数中的研究.

前后不同的两条分片代数曲线，通过结式定理，其最后分片代数曲线的Bezout数的结果一样，很明显由于前后样条的自由度不同，最后的结果肯定不一样，因此，结式定理在求Bezout数的上界过程中存在着弊端.

结论 Bezout定理是传统代数几何的开卷定理，在传统代数曲线理论中具有重要的地位，考虑Bezout定理在分片代数曲线中的推广对分片代数曲线的研究起着十分重要的作用.本文通过具体的例子，利用MATLAB程序，得出结式定理在求Bezout数的上界过程中存在着弊端.

【参考文献】

[1]张晓磊.多元样条与分片代数簇计算的若干研究[D].大连：大连理工大学，2008.

[2]那日顺.有关分片代数曲线Bezout数的研究[D].大连：大连理工大学，2005.

[3]Renhong Wang，Zhiqiang Xu.Estimation of the bezout number for piecewise algebraic curve[J].Science in China Series A：Mathematics，2003（5）：121-146.

[4]王海敏，王亦然.低次分片代數曲线的Bezout数[J].科技通报，2011（6）：819-822+829.