高斯函数性质的应用

勉辉

【摘要】在各级各类考试中，高斯函数是一个重要的命题知识点，由它设计出来的题目涉及数学的各个学科.本文在高斯函数定义和性质的基础上，给出了涉及含[x]函数的不等式及含[x]函数的恒等式的应用.

【关键词】高斯函数;高斯函数性质;应用

一、高斯函数的概念及其性质

（一）概念

设x∈R，用符号[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[x]称为高斯函数，也叫作取整函数.显然y=[x]的定义域为R，值域为Z.

（二）性质

（1）[x]≤x（等号成立当且仅当x为整数）.

（2）高斯函数[x]是不减函数，即x≤y[x]≤[y].

（3）当n∈Z时，[n+x]=n+[x].

（4）对于x，y∈R有[x]+[y]=[x+y].一般地，有∑ni=1[Xi]≤∑ni=1Xi，Xi∈R.

特别地，n[x]≤[nx]，x∈R.

（5）对x，y∈R+∪{0}，有[x·y]≥[x]·[y].一般地，有∏ni=1Xi≥∏ni=1Xi，Xi∈R+∪{0}.

（6）我们以y=[x]和y={x}为例画出图像，由图像可知，y=[x]是阶梯形上升的函数，y={x}是以1为周期的周期函数.

由图像可知：（ⅰ）x1-x2≥1存在整数k，使x2

（ⅱ）[x1]=[x2]且x1≥x20≤x1-x2<1.

（ⅲ）0≤x1-x2<1[x1]=[x2]或[x1]=[x2]+1.

（ⅳ）|[x]|<|x|+1.

二、高斯函数的应用

1.不等问题主要涉及含[x]的不等式分析.此类问题的难度一般比较大.

例1求所有正整数n使得mink∈N*k2+nk2=1 991.

解mink2+nk2=1 991等价于（1）（2）同时成立：

（1）存在k∈N*，使1 991≤k2+nk2<1 992.

（2）对k∈N*，有k2+nk2≥1 991.

由（2）k4-1 991k2+n≥0k2-1 99122+n-1 99124≥0.

因mink∈N*k2-1 99122=1024-1 99122，

故有1 024-1 99122+n-1 99124≥0.

解得n≥1 024×967=990 208.

由（1）知，设k0∈N*，使k0-1 992k20+n<0

mink∈N*（k2-996）2+n-9962<0.

因为（k2-996）2的最小值为282，

故n<9962-282=1 024×968=991 232.

综上所述，990 208≤n≤991 231（n∈N*）.

2.恒等问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式.

例2已知n∈N*，求证：[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3].

证因为（n+n+1）2=2n+1+2n（n+1）及n

所以有4n+1<（n+n+1）2<4n+3.

即4n+1

另一方面，設k=[4n+1]，

于是有k2≤4n+1<（k+1）2.

因为任何一个完全平方数被4除后不可能余2，也不可能余3，所以有k2≤4n+1<4n+2<4n+3<（k+1）2.

即k≤4n+1<4n+2<4n+3

结合以上两式知k=[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3].

【参考文献】

[1]秦宗慈.一些取整数列求和公式及应用[J].数学通讯，1996（4）：25-26，27.

[2]陈传理，张同君.竞赛数学教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]吴康.奥赛金牌题典（高中数学）[M].桂林：广西师范大学出版社，2004.