3/10米有助于学生理解0.3米吗

章勤琼

【摘   要】小数可以看成是十进分数的特殊形式，在认识小数的时候要加强小数与十进分数的联系，但这并不意味着一定要通过分母为10的分数来认识小数。通过分数来认识小数对学生来说存在困难，此阶段学生所学的分数仅表示“部分与整体关系”的意义，学生认识的只是分数的形式，其认知结构中并没有作为“数”存在的分数，因此无法真正建立小数与分数之间的关联。在形式上建立的这种联系可能导致两种对小数认识的迷思：一是认为只要取到几份就是零点几，并不关注是否分成10份;二是认为平均分成几份就是零点几。为了帮助学生更好地认识小数并理解小数的意义，在教学中需要做到以下两点：第一，淡化通过形式上的分数来理解小数，强调从“数”的产生的角度来认识小数;第二，通过多种表征让学生积累“十分”产生小数的经验，促进对小数意义的理解。

【关键词】小数的认识;十进分数;位值制;数的产生

小数的认识是小学阶段数学学习中“数的认识”的重要内容，对学生来说，这是数系统的一次扩充，更是对十进制系统的完善。一般认为，小数是分数的特殊形式——十进分数。因此，在很多教学安排中都是通过分数来学习小数。然而，张奠宙指出，他在读小学的时候，是先学小数后学分数，而那时的教材编排也大多是小数在分数前面，“因为小数比分数容易，小数的计数原则跟整数一样是十进制的，有整数老大哥帮忙，小数比较容易懂。”[1]

事实上，学生真正认识、理解小数却并不简单。有调查表明，四年级学生（已经学习《小数的初步认识》），对小数的认识积累了一定的生活经验， 主要是在人民币和长度单位方面，但仅仅停留在感性认识阶段，缺少理性认识。70%左右的学生对小数的意义的理解已经达到事实性理解水平，但还没有达到概念性理解水平。[2]也就是说，可能会读会写会用，但其实并不真正理解小数作为一种数的意义。

那么，借助分数的形式是否有助于学生理解小数，如何更好地帮助学生认识小数呢？我们应该对其相关数学概念进行梳理，进而对教学有进一步的思考。

一、小数的定义及其与十进分数的联系

从数的发展历程来看，數的产生是先自然数（整数），然后分数，最后小数。[3]中国被认为是最早发明并系统掌握小数理论的国家。在中国，小数的产生和发展与计量学、律历学、数学的发展密不可分。在计量学方面，出于非十进制单位换算的复杂性，度量衡朝着十进制的方向发展，而为了更精确地表示数量，度量衡又朝着创造更小单位的方向发展。在数学方面，刘徽最早明确了小数的概念，他在处理开方除不尽问题时，建议采用微数方法，“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也”，这句话前半句就相当于现代数位表中的十分位、百分位及其含义。[4]

现代数学中对小数是这样定义的：小数亦称十进小数，是实数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数，根据十进制的位值原则，把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式，小数中的圆点叫作小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。而在小学数学教材中一般这样呈现：把分母是10、100、1000……的分数改写成不带分母形式的数，叫作小数。[5]

从上述定义中可以看出以下两点：第一，小数是通过十进分数来定义的，可以看成是十进分数的另一种形式。第二，十进制的位值原则是小数能够产生的根本性质，这也是整数与小数能得以沟通的原因。因此，虽然在形式上小数可以看成是特殊的分数，但其产生并不一定需要分数，可以直接将整数进行“十分”“百分”……得到各位上的小数。

在现行的数学教材中，小数的认识通常分两个阶段进行，分别是“小数的初步认识”和“小数的意义与性质”。各教材的整体设计不尽相同，但在第一次“认识小数”时都把握了共同的原则：（1）基于学生生活经验来学习小数，在具体的“量”中理解小数的现实意义，这里“具体的‘量”主要指钱数、长度;（2）“规定” 小数是十进分数的另一种表示方法;（3）沟通用“整数、分数、小数”都能表示同一个“量”。[6]

从各版本教材的共同特点来看，都强调小数是十进分数的另一种表示方法以及沟通整数、分数与小数之间的联系。但需要注意的是，这并不意味着小数的学习一定要通过分数。在北师大版教材中，就直接通过沟通整数与小数之间的关系来认识小数，分数的学习在小数后面。因此，通过分数认识小数，是否可以帮助学生更好地理解小数的意义，需要更进一步的探讨。

二、学生在认识小数中存在的困难

小数可以看成是特殊的十进分数，小数的产生也是以对“1”1进行十等分之后产生的。因此，在小数的认识的教学中，加强小数与十进分数的联系是毋庸置疑的。正是基于这样的考虑，不论是“小数的初步认识”还是“小数的意义”，很多教材都试图通过分数让学生认识小数。

事实上，建立小数与十进制的联系，并非形式上的“[310]=0.3”，而应关注以下两点：第一，只有将“1”平均分成10份，才能产生小数，即“十分”可以产生0.1这样更小的计数单位，这与“十进”后可以产生“十”“百”“千”这样更大的计数单位是相通的。第二，将“1”平均分成10份以后，取其中的几份就是零点几。在认识小数时，重视对这两点的理解，更容易帮助学生理解小数的本质，也更符合学生认知结构中数系扩充的顺序。如果将十进制在另一个方向进行应用，由积累成“十”到细分成“十份”，就能从自然数扩充到小数。这与“十分之几就是零点几”这样的形式表述有着本质区别。