米有助于学生理解0.3米吗*——如何帮助学生更好地认识小数

□ 章勤琼

小数的认识是小学阶段数学学习中“数的认识”的重要内容，对学生来说，这是数系统的一次扩充，更是对十进制系统的完善。一般认为，小数是分数的特殊形式——十进分数。因此，在很多教学安排中都是通过分数来学习小数。然而，张奠宙指出，他在读小学的时候，是先学小数后学分数，而那时的教材编排也大多是小数在分数前面，“因为小数比分数容易，小数的计数原则跟整数一样是十进制的，有整数老大哥帮忙，小数比较容易懂。”[1]

事实上，学生真正认识、理解小数却并不简单。有调查表明，四年级学生（已经学习《小数的初步认识》），对小数的认识积累了一定的生活经验，主要是在人民币和长度单位方面，但仅仅停留在感性认识阶段，缺少理性认识。70%左右的学生对小数的意义的理解已经达到事实性理解水平，但还没有达到概念性理解水平。[2]也就是说，可能会读会写会用，但其实并不真正理解小数作为一种数的意义。

那么，借助分数的形式是否有助于学生理解小数，如何更好地帮助学生认识小数呢？我们应该对其相关数学概念进行梳理，进而对教学有进一步的思考。

一、小数的定义及其与十进分数的联系

从数的发展历程来看，数的产生是先自然数（整数），然后分数，最后小数。[3]中国被认为是最早发明并系统掌握小数理论的国家。在中国，小数的产生和发展与计量学、律历学、数学的发展密不可分。在计量学方面，出于非十进制单位换算的复杂性，度量衡朝着十进制的方向发展，而为了更精确地表示数量，度量衡又朝着创造更小单位的方向发展。在数学方面，刘徽最早明确了小数的概念，他在处理开方除不尽问题时，建议采用微数方法，“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也”，这句话前半句就相当于现代数位表中的十分位、百分位及其含义。[4]

现代数学中对小数是这样定义的：小数亦称十进小数，是实数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数，根据十进制的位值原则，把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式，小数中的圆点叫作小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。而在小学数学教材中一般这样呈现：把分母是10、100、1000……的分数改写成不带分母形式的数，叫作小数。[5]

从上述定义中可以看出以下两点：第一，小数是通过十进分数来定义的，可以看成是十进分数的另一种形式。第二，十进制的位值原则是小数能够产生的根本性质，这也是整数与小数能得以沟通的原因。因此，虽然在形式上小数可以看成是特殊的分数，但其产生并不一定需要分数，可以直接将整数进行“十分”“百分”……得到各位上的小数。

在现行的数学教材中，小数的认识通常分两个阶段进行，分别是“小数的初步认识”和“小数的意义与性质”。各教材的整体设计不尽相同，但在第一次“认识小数”时都把握了共同的原则：（1）基于学生生活经验来学习小数，在具体的“量”中理解小数的现实意义，这里“具体的‘量’”主要指钱数、长度；（2）“规定”小数是十进分数的另一种表示方法；（3）沟通用“整数、分数、小数”都能表示同一个“量”。[6]

从各版本教材的共同特点来看，都强调小数是十进分数的另一种表示方法以及沟通整数、分数与小数之间的联系。但需要注意的是，这并不意味着小数的学习一定要通过分数。在北师大版教材中，就直接通过沟通整数与小数之间的关系来认识小数，分数的学习在小数后面。因此，通过分数认识小数，是否可以帮助学生更好地理解小数的意义，需要更进一步的探讨。

二、学生在认识小数中存在的困难

小数可以看成是特殊的十进分数，小数的产生也是以对“1”①这里的“1”是指某个单位，并不一定指具体的数字1，下同。进行十等分之后产生的。因此，在小数的认识的教学中，加强小数与十进分数的联系是毋庸置疑的。正是基于这样的考虑，不论是“小数的初步认识”还是“小数的意义”，很多教材都试图通过分数让学生认识小数。

以人教版教材为例，在“小数的初步认识”中，通过“将1米平均分成10份，每份是1分米”后，指出“1分米是1米的”，并进而指出“1分米是米，还可以写成0.1米；3分米是米，还可以写成0.3米”。[7]

在“小数的意义”中，教材在指出将1m平均分成10份后，进行了如图1中1dmm和0.1m的对应。

图1

在下面将1m平均分成100份和1000份分别得到两位小数和三位小数的时候，采用了完全一样的方式。[8]教材的这种安排遵循小数是特殊的分数这一性质，通过米米这样的十进分数来认识小数0.1米和0.3米，符合“数”发展的进程。[9]

但像这样数学的发生发展顺序是否同样符合学生的认知发展呢？教材中通过十进分数来认识小数是基于一个前提的，即学生已经认识并理解了分数。从教材知识点安排顺序来看，这一点似乎没有问题。然而，在三年级上册分数的学习之后，学生对分数形成的都是类似“把一块月饼平均分成2份，每份是这块月饼的”这样的认识，这是“部分与整体关系”的意义。事实上，分数本身有多种不同意义，[10]学生在这里所学习的分数并不是作为一个“数”的意义。

图2

如图2所示，对于图中物体的长度，学生能用小数正确表达出0.3米，但用分数表达的时候却写成了米。说明米这样的表达形式对于学生来说是困难的，因为学生是以“部分与整体的关系”的意义来理解，认为图中平均分成了6份，分母应该是6。难以理解分母为什么是10，而且学生也从来没有学习过如米元这样在分数后面加上单位的形式。因此，通过米这样的分数的形式来认识小数0.3米，从学生知识结构发展的顺序上来说，并不是顺向的。

图3

第二种情况，认为平均分成几份就是零点几。如图4所示，学生在表示0.3米的时候，画出了，认为0.3是需要将1平均分成3份。

图4

认识小数的教学，重点在于位值计数，也就是需要做好十进制从自然数向小数的过渡，即建立小数与“十进”“十分”的联系。但建立两者的联系，并不意味着一定要通过分母为10的分数来认识理解小数。由于分数具有多种不同的意义，学生对其理解存在困难。同时国内大多数教材第一次呈现分数时是关于“部分与整体关系”这一层面的，并不是作为一个从自然数扩充而来的“数”。因此，想要通过分数的形式来认识小数，这对学生认识并理解小数意义和建构自然数与小数整体的十进制观念，并无实质性帮助。

三、两点教学建议

第一，淡化通过形式上的分数来理解小数，强调从“数”的产生的角度来认识小数。虽然小数可以看成是分母为10的特殊形式的分数，但小数的产生并不需要借助分数，将“1”按照整十进行累加，可以得到所有的自然数。那么，将“1”按照十等分进行细分，就可以得到小数，十进制的这种扩展对于学生的认知结构来说是一种完善。因此，在教学中需要强调两点，将“1”平均分成十份是前提，如果没有十等分，就不会产生小数。其次，进行十等分后，其中的几份就是零点几。有了这样的认识，学生就可能不会出现图3与图4这两种迷思。

第二，通过多种表征让学生积累“十分”产生小数的经验，促进对小数意义的理解。学生在生活中已经有很多认、读、写的经验，但不能仅停留在这个层次，需要从意义上认识小数，特别是小数和自然数的关系，尽量把通过“十分”构建“小数”的数学思想方法用学生易懂的方式表示出来。[12]这就需要在教学中借助多种表征，让学生更多经历十等分产生分数的过程。譬如，可以通过长度、钱币等现实模型，也可以通过画图表征以及在数字线上建构小数等多种方式，并注重它们之间的联系以及学生经验的积累。