别让“分数的基本性质”只成为一个概念

陈红娟

在五年级的一次测验中，一道依据分数的基本性质解方程的试题难住了90%以上的学生。题目明确要求“应用分数的基本性质求未知数x”，这分明是六年级的解比例知识，却前置到五年级，似乎有点超前。可细细思量，如果将未知数x替换成具备相同提问功能的括号，让学生再依据分数的基本性质填数，相信绝大部分学生都会做对。那为什么把括号换成x后，许多学生就无所适从了呢？究其原因是学生只知道运用分数的基本性质进行通分，将两个分数的分子或者分母化为相同数，通过对照，算出括号里空缺的数，而不知道用未知数将空缺的分子或者分母表达出来，然后根据分数的基本性质求解x的值。这说明学生在应用分数的基本性质时，存在对分数的基本性质认识不清、应用死板及受解简易方程的负迁移影响的问题。

一、对分数基本性质的认识不清

对于分数的基本性质，教材通过按照不同标准来划分纸片的方法来表示等值的分数，借此揭示分数的基本性质。而学生对分数的基本性质常认识不清。

【例1】有三张大小相等的方形卡纸，均按照不同方式平分并涂色，请用分数表示涂色部分所占比例。

当学生填上数字后，多数教师都会设法勾起学生的好奇心和探究欲，问学生有什么意外发现，然后引导学生总结出“[12=24=48]”，最后师生共同研究这几个分数的分子和分母的变化规律。

通过观察分析，师生共同总结概括出分数的基本性质：分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数值不变。从中不难发现，分数的基本性质主要侧重于分子和分母发生特定变化后，分数值不变的规律，而学生在操作探究时，忽略了“涂色部分大小虽然可以用不同分数表示，但实际大小并未改变”的讲解，没有关注分数变化前后的变与不变。学生只知道，分子和分母同步扩大或缩小相同倍数，分数值就不变，或者说两个分数的分子与分母存在这种同步变化的对应关系，那么它们之间就可以画等号。而老师也没有引导学生继续推导：当两个分数的值相等时，如果分子和分母其中有一个相等，那么另一个必相等。

二、对分数基本性质的应用死板

为什么学生运用分数的基本性质能轻松解答出填空题，而换成其他题型后却失效呢？应该说，这是受课本例2的负迁移影响（例2展示了分数基本性质的应用方法）。在学生学习例2之前，教师一般会提问：“你能把一个分数的分母变动一下，但使分数值不变吗？”

【例2】把[23]和[1024]两个分数转化为分母都是12的分数，要求分数值不变。

[23=2×（    ）3×4=（    ）12]   [1024=10÷（    ）24÷2=（    ）12]

对于例2，学生都能轻松解答。但当教师引领学生解析题目时，他们往往只会生硬地复述分数的基本性质，边回忆性质边推测答案。例如，学生在解答[1630=16+3230+x]时，多数会考虑到右边分数的分子在原来16的基础上增加了32，所得结果正好是原分数分子16的3倍，也就是加上32与扩大3倍等效，那么应用分数的基本性质，要使分数值不变，原分母也应该扩大3倍，变化后的分母应该是90，也就是[1630=4890]，而根据“分数值相等的两分数，如果分子相等，那么分母一定也相等”这个推论，还原成填空题也就是[4890=4830+（    ）]，也就是说两个分数的分母都应是90，然后用90-30就可以算出正确结果60。可是多数学生没有进一步想到只要将式子“30+（[    ] ） =90”中的括号替换成字母x，就能列方程x+30=90。究其原因，学生应用分数的基本性质时，首先考虑的是分数值不变，而分数值指的是分子和分母的综合效应。在平时训练中，一般是告知一个完整分数作为参考值，只需补充另一个残缺分数。解答此类习题时，学生往往无须列式演算，通过读题就可以迅速猜想出结果。可是，当试题明确提出“应用分数基本性质解题”这一要求时，许多学生却没能及时将分数的基本性质与求解x联系起来，也就是说，“分数值不变”这一性质没有融会贯通到两个分数的分子和分母分别相等的层面上，即先把等式中两个分数的分子或分母化为相等，然后将含有未知成分的另一个元素的相等关系用方程来表示，并求出未知数x。

例如，求解[x+720=25]时，按题目要求应该这么解答：

解：[x+720=25]

[x+720=820]（右边分数分子和分母同步扩大4倍）

[x]+7=8（相等的两个分数，如果分母相等，那么分子也相等）

[x]+7-7=8-7（应用等式基本性质）

[x]=1

三、解简易方程的负迁移影响

在五年级上册，学生学到了解简易方程的方法，并且大多学会了运用等式的基本性质或数量关系来解方程，一看到求x，学生就条件反射地想到解方程，但考虑到“依据分数的基本性质求未知数x的值”这一要求时又开始犯糊涂了。如对于“[1630=16+3230+x]”这道题，多数学生凭解方程的直觉认知，希望按照一般解简易方程的常规方法求出未知数x，可是在这个等式中，未知数并不是一个运算式中明确的整体，而是一个分数的一部分，需要对等式进行等价变换后，才能提取出一个含有x的简明运算式，这才是解决问题的关键。有几名学生先应用分数与除法的概念关系，把两个分数改写成两个除式，然后再根据数量关系解出x，即

解：[1630=16+3230+x]  [?]16[÷]30=48[÷]（30+x）[?]30+x=48[÷]（16[÷]30）[?]30+x=48[÷]16[×]30[?]30+x=90 [?]x=90-30[?]x=60

上述做法显然不是根据分数的基本性质求解x，虽然解答时也存在等式x+ 30=90，但是，此时的等式x+30=90已不再是表示两个分数的分母，30+x的身份已经变为算式48[÷]（30+x）中的除数，而90是48[÷]（16[÷]30）的计算结果，最后根据数量关系，解得x=60。

综上所述，教师在教学中应引导学生把握好分数的基本性质，不要让“分数的基本性质”只成为一个概念，要让学生明白在根据分数的基本性质求解未知数x时，“分数值保持不变”是确定分子或分母相等的前提，保证等式两边两个分数含未知数部分相等，是列出简易方程的重要一步。只有牢牢抓住“分数值相等的两个分数的分子或分母有一个相等，另一个也相等”这个推论，才能利用分子或分母相等建立含有未知数的方程，然后解方程。

（责编 黄春香）