图像复原用的一种改进的最大熵法

文/王吉会

1 图象退化模型

所研究的图象复原是图1的模型为基础的。

当H为一线性算子时，有：

其 中：h(x,α,y,β)=H〔δ (x —α，y—β)〕当h(x,α,y,β)是位置不变的时，则：

为了方便清楚明了，将二维图象分解为一维序列。这样（1）式可以表示为：

其中：{ej}是均值为零的白噪声。 {fi}为原始图象。

{dj}污染后的图象。{Aij}是传递函数。

2 传统最大熵复原法

2.1 图像的熵

图像的熵是一种图像信息量的表示方法，代表了图像的平均信息量。离散分布（3）的熵为：

当F=常数时，则H1=max与H= —Σfilogfi = max一致，因为H= max，必然有H1=max。故令熵的

另外还有一种Burg熵，因其使用的狭隘性，本文就不在此赘述了。

2.2 传统的最大熵复原方法

传统的最大熵复原方法主要是从频谱关系考虑和利用最大熵法复原。

设Sg(U，v),Sf(u,v)，Sη(u,v)分别代表模糊图象、原图象、噪声的功率谱密度.

则它们有：

现在，我们要寻找一个谱均衡器P(u,v)，使g(x,y)通过它时，能得到输出Sf(u，v)

不难看出，（6）式中要用到g(x，y）的功率谱，估计Sg(u,v)时，可以利用最大熵法。

第二：从时域，利用优化方法来求。

值问题3再利用#优法求极值，得出最大熵法情况下的复原图象。

以上两种方法均有缺点。第一种方法Sf(u,v)较难求。第二种方法寻优困难。用最速下降法寻优，其步长又难以选择。用共扼方向法寻优，复杂度高。用近视法，则降低了精度。

3 改进的最大熵法

3.1 最大熵复原应满足的约束条件

而且，fi＞0 i=1、2、…、n

椐拉格朗日乘子法，我们建立目标函数为：

其中：λ为拉格朗日除子。

下面我们求目标函数的极大值。

令：J=max,则需使：J’=0 所以‘有

如式（8）（9）（10）（11）所示。

满足（10），（11）的f即是J的驻点，是候选的最大值点。

3.2 J的凹凸性证明

定理：当入＞0时，J是严格上的凸函数。据上述定理，当入＞0时，满足（10），（11）的f就是J最大值点，即我们要得的复原图象。

3.3 递推公式

因为当η很大时，我们不能直接由（10），（11）解出f,所以，要通过别的途径。在此我们利用递推法。将（10）式两边求引，并赋以递推序号，得：如式（12）所示。

由（12）得递推公式为：

综上，递推求f时应先按（13），后按（11）式求。即满足：

3.4 初值

令入=0，由（10）得出f的初值为=e-1，i=1、2、…n

用此数值作为迭代初值复原出来的图象精度高。而任选一初值，则或者迭代后产生的图象精度太低，或者得出负图像，等等。

3.5 算法的收敛性

图1

据泰勒公式，有：如式（15）所示。

上式两边分别转置，得：

代入（15），得：

令：x1=ΔfTPΔf

则可知，X1＞0，当ΔL＞0,ΔN＜0,∴x2＜0

因此，这时（16）式成为：

综上，当Q（fk）＞G时（这时ΔL＞o),下一步要求λk + 1比λk大，才能保证,Q(fk+1）比Q（fk）更接近于门限值G。而Q(f°)＞G,(因为fi≤1),所以此算法收敛。因此，我们得到结论： 若我们选择门限值m1＜G＜m2，按（11），（13）式我们一定可得到复原图象。其中：mi =m- m /10。 m2==m + m/10,这是我们实验中得到的。mi,m2不能选得间隔太大或太小。如果太大，则复原精度低；而太小，则复原速度慢。

4 算法与结论

根据以上理论指导，我们编写了相应的程序，进行了实验。通过实验我们得知，“改进的最大熵法”比传统的最大化熵法复原速度快，精度高。

5 实验结果

实验结果如照片如图1所示。