对一个经典牵引模型运动学规律的探讨

邹兆贵

(长沙市长郡滨江中学，湖南 长沙 410013)

牵引模型是高中物理的一个重要模型,也是一个难点．该模型重在考查考生的理解能力、推理能力及分析综合解决物理问题的能力．以下对一个经典牵引模型的运动学规律进行探讨,以期对该模型的特点及规律的认识提供帮助．

1 模型描述[1]

图1

如图1所示,物体m置于水平面上,物体m前固定有动滑轮A,B为定滑轮,一根轻绳绕过B、A后固定在C点,AC段水平,当以速度v1水平向左匀速拉绳头时,物体m沿水平面向左运动．(忽略滑轮A、B的大小)

2 运动学规律

当以速度v1水平向左匀速拉绳头时,物体m沿水平面向左运动．物体m的运动满足什么规律?物体m的速度与v1关系是什么?物体m的速度如何变化?物体m的加速度如何变化?物体m向左运动一段位移需要多长时间?

以下对物体m的速度变化规律、加速度变化规律及运动一段位移所需时间3个方面的内容进行探讨．

图2

如图2所示,假设物体m运动到水平面某一位置D处时,绳BD与竖直方向的夹角为φ,绳BD与水平面夹角为θ,物体m向左运动的速度大小为v2,加速度大小为a2,经过一极短时间Δt,物体m运动到E处．过E作BD的垂线,垂足为F点,BC的竖直高度为h,绳BD的长度为L．

2.1 速度规律

物体m沿水平面向左运动,其速度大小v2与匀速拉绳头的速度大小v1的关系如何?以下通过微元法进行分析．[2]

物体m由D运动到E处,定滑轮B右侧绳子缩短的长度为Δl=BD+CD-(BE+CE),当时间极短,即Δt→0时,BE≈BF,则

Δl≈BD-BF+CD-CE=DE+DF，

(1)

同时,Δt→0时,物体m在Δt时间内的运动可视为匀速直线运动,

DE=v2Δt.

(2)

在Rt△DEF中,由几何关系知

DF=DE·cosθ,

(3)

由于轻绳不可伸长,故定滑轮B左侧绳子伸长的长度

Δl′=Δl,

(4)

匀速拉绳头时,

Δl′=v1Δt.

(5)

联立(1)～(5)式可得v1Δt=v2(1+cosθ)Δt,即

v1=v2(1+cosθ).

(6)

2.2 加速度规律

物体m向左做加速运动,物体m的加速度a2是多少?如何变化?以下进一步分析物体m的加速度变化规律．

在(6)式两边对时间t求导得

(7)

(8)

由几何关系及导数知识知

(9)

物体m向左运动过程中,定滑轮B右侧绳子有绕定滑轮B转动的效果．设在D处时,绳子绕定滑轮B转动的线速度大小为v3,角速度大小为ω,由运动的合成与分解规律知

v3=v2sinθ.

(10)

根据角速度的定义知

(11)

由圆周运动规律知

v3=ωL.

(12)

结合几何关系

(13)

联立(8)～(13)式得

图3

2.3 时间规律

物体m向左做加速度不断增加的加速运动,向左运动一段位移,所需的时间t满足什么规律呢?

设物体m运动到D处时,绳BD的水平长度为x,由几何关系知:

x=h·cotθ.

(14)

两边微分得

dx=h·d(cotθ)=-h·csc2θ·dθ,

(15)

以水平向右为正方向,注意到物体m向左运动,则dx<0．设一极短时间内物体m向左运动的位移大小为dx′,则有

-dx=dx′.

(16)

联立(15)、(16)式得

dx′=h·csc2θ·dθ.

(17)

(18)

(19)

(19)式即为物体m向左运动,从θ1位置运动到θ2位置这一过程中所需要的时间．

当物体m初始计时位置θ1为常见角度时,物体m从θ1位置运动到θ2(θ2=90°)位置所需时间t的大小列表如表1,方便查阅．

表1

3 结束语

本文中牵引模型,匀速向左拉绳头时,物体m向左做加速度增大的加速运动．利用微元法求解牵连体的速度关系便于理解．其中对物体加速度的变化规律及运动一段位移所需时间的计算需要利用大学导数和微积分的知识,超出了高中课本知识的范围(或许源于此,高中物理教学中对该模型物体加速度和运动位移所需要时间的讨论鲜有涉及)．以上是笔者对该经典牵引模型的运动学规律的探讨,以飨读者．