2019年全国Ⅰ卷第21题的解法探析

周伟波 陆昌松

(1. 广东番禺中学，广东 广州 511400； 2. 广州市增城区增城中学，广东 广州 511300)

1 原题呈现

图1

(2019年全国Ⅰ卷第21题)如图1,在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示,假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍,则

(A)M与N的密度相等.

(B)Q的质量是P的3倍.

(C)Q下落过程中的最大动能是P的4倍.

(D)Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍.

答案：(A)、(C).

2 解法探析

(C)、(D)选项解析:选项(C)、(D)是本题的难点所在,笔者尝试运用以下3种方法进行求解．

2.1 公式法

2.2 图像法

图2

把a-x图像转变为ma-x图像,如图2所示,则图线与两坐标轴围城的面积即为合力所做的功．

图3

2.3 模型法

图4

物体与弹簧组成竖直方向的弹簧振子模型,因此物体在竖直方向作简谐运动．

(1) 证明1:如图4所示,A点为开始位置,O点为振子的平衡位置,当物体运动至B点,此时偏离平衡位置O点的位移设为x．则有:物体的回复力F回=k(x0+x)-mg,平衡位置处有:mg=kx0,解得F回=kx,从图中可知F回与x方向相反,故F回=-kx,即物体在竖直方向作简谐运动．

3 结语

课堂教学中,对于题目的讲解,我们也不妨从“公式法、图像法、模型法”等多维度切入,从而有效提升学生的科学思维能力和解决问题的能力．