分块矩阵初等变换的妙用

【摘要】：在求解高阶矩阵的秩、以及逆矩阵时，往往伴随着复杂、冗长的计算.而运用分块的思想，首先把所求矩阵进行合适的分块，其次把矩阵的初等变换的方法运用到分块矩阵上，可以使问题相对简单化，从而实现简化计算的目的.

一、分块矩阵求逆矩阵

1.设A，B是n阶方阵.若7A+B与7A-B可逆，求解的逆矩阵.

解：

2.已知分块矩阵可逆，其中H为n阶矩阵，K为 m阶矩阵，证明：H和K都可逆，并求N-1.

证明：detN=detHdetK≠0，所以detH≠0，detK≠0.

因此H和K都是可逆矩阵.

一、分块矩阵求秩

3.设矩阵A，B∈Pn×m，证明：秩（A+B）≤秩

证明：

4.已知 n阶矩阵A满足A2-18A+77E=0，E为n阶单位矩阵，证明：秩（A-7E）+秩（A-11E）=n.

证明：由于初等变换不改变矩阵的秩.

【参考文献】：

【1】董李娜，常晓鹏.分块矩阵广义初等变换的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2018，27（04）：58-61.

【2】王蕾.分块初等矩陣及应用[J].数学学习与研究，2014（19）：109.

作者简介：张晓，女，甘肃兰州，大学本科，西北师范大学，研究方向：数学与应用数学