关于“边边角”解三角形解的个数通解公式的探究

刘改玉 赵励羽

在学习正弦定理时，通过一些讨论可以得出“边边角”解三角形解的个数[1]，这些讨论不免繁杂.因此，有必要探究出“边边角”解三角形解的个数的通解公式，即得出y=Φ（a，bA），代入△ABC的a，b，A三个元素，即可求出解的个数.

一些限定条件及对应解的个数如下表所示：

此问题需进行三级讨论，不同情况解的个数又有所重叠，也就是说，各条件对解的个数的影响效应不同.这里笔者联想到了斗地主中的“牌点叫牌法”，具体内容为：“斗地主中主要大牌的牌力定量评价如下：大王4个牌点，小王3个牌点，2是2个牌点，A是一个牌点.叫牌牌力至少7点以上的牌力.” [2]我们可以类比这种方法，设法给不同条件赋予不同点数，设三者点数加起来为d，同时设定集合A两解，A一解，A无解，.若d∈AN解，则有N解.

得到正确的一组赋点方法以及一组对应点数之和的集合后，我们需要建立映射。即先将条件映射到对应的点数上，再将点数之和的对应集合映射到对应的解的个数上.

设π/2≤A<π为x点，0

a>b为l点，a=b为m点，a

a>bsinA为a点，a=bsinA为b点，a

对照上表，即可得18种情况对应的点数之和.

设：N∈{k}时为两解，N∈（k，+∞）时为一解，N∈（-∞，k）時为无解.

问题转化为：求一组符合条件的值x，y，l，m，n，a，b，c，k∈Z，使得下列不等式同时成立.

易知x=-8，y=4，l=10，m=-4，n=-10，a=6，b=10，c=5，k=0是其中一组解.

这里建立映射的基本思想是应用取整函数，从而把实数集映射到整数集上.

经过多种尝试，笔者得到了第一组条件的映射办法：.

再由待定系数法确定下一步映射：

为了得到第二、三组条件的映射方法，首先需要建立映射

经过各种尝试，笔者选用了y=tanhx=

双曲正切函数非常有利于取整函数的构造.为了使x>0，x=0，x<0时y的值不同，稍加思考，笔者得到

与F（x）相比较，有

需注意，这两个公式都不能用计算机验证.当x较大时，tanhx会非常接近1，而计算机会将其近似为1进行下一步计算，从而造成取整错误.

为此，我们可以将通解公式中涉及的所有的双曲正切函数都除以2，让它的渐近线变为y=0.5和y=-0.5.

通过这样的探究，能够发现，求解多级讨论问题通解公式的根本办法是“赋点法”，使通解公式简洁的策略是更换大方向或建立更先进的映射方法，取整函数能实现从实数集到整数集的映射，应用计算机编写程序时应注意

参考文献：

[1]刘绍学，李建华等.普通高中课程标准实验教科书 数学5 必修 A版[M].2007年1月第3版.北京：人民教育出版社，2007.8-9.

[2]佚名.斗地主（扑克牌游戏）_百度百科[DB/OL].https：//baike.baidu.com/item/%E6%96%97%E5%9C%B0%E4%B8%BB/177997？fr=aladdin，2018-09-02/2019-11-09.]计算机只能精确到小数点后有限位.