探究计数原理在染色问题中的应用

秦雪梅

摘 要：中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以两个计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以正确理解两个基本原理并能解决实际问题是学习分类计数原理与分步计数原理的重点内容

关键词：计数原理；探讨和归纳；培养学生逻辑思维能力；创新思维能力。

计数原理和染色问题均是高考中常考内容，且与染色问题有关的试题内容新颖有趣，数学思想丰富，解题技巧灵活多变，故这类问题有利于培养学生的创新思维能力，有利于培养分析和解决问题的能力。常见的解题原则有（1）.根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；（2）.特殊位置或特殊元素优先考虑原则；（3）.分步处理过程中出现矛盾或问题则分类讨论原则；

以下针对染色问题的特征分几类情形进行探讨和归纳。

（一）平面直线型染色问题

【例1】如图，用4种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

A B C D

解：根据分步计数原理，按 的顺序染色，故N=4X3X3X3=108（种）

说明：本题也可以对C与A同色与否，B与D同色与否进行讨论解决，但计算过程复杂，解题不简洁，利用分别计数原理简洁。

（二）平面环形染色问题

【例2】将例1中四个区域的位置做出如下调整，如下图，相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？

解：根据分步计数原理，按 的顺序进行染色，由于C区域是特殊位置，应进行讨论：（1）当C与A同色时，则 =4x3x1x3=36；

（2）当C与A不同色时，则 =4x3x2x2=48；

所以N= =36+48=84（种）.

【变式1】如下图，将一个圆分成4个扇形，每个扇形用4中不同颜色染色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？

解：本变式题本质与例2完全相同，故N=84（种）。

【变式2】如下图，将一个圆形分成n个扇形（ ），每个扇形用4种不同颜色之一染色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？

解：圆被分成n个扇形时：

（1）当n=2时， 有 种，即

（2）当 时，如图知， 与 不同色， 与 不同色， ，

与 不同色，先将n个区域看作直线型染色问题，则共有 种染色方法，但由于 与 邻，所以应排除 与 同色的情形；而 与 同色时，可把 、 合并看成一个扇形，与前 个扇形加在一起为 个扇形，此时有 种染色法，故有如下递推关系：

说明：有了以上通项公式，可以解决所有扇形染色问题。

（三）棱锥型顶点染色问题

【例3】如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，求不同的染色方法总数。

解法一：根据分步计数原理，按 的顺序染色，先对S、A、B染色，有4x3x2种，由于C点的颜色可能与A相同或不同，这影响到D点的染色方法，故分两类情况讨论：

（1）C与A同色，则C方法唯一，D有2种染色法，所以 =4x3x2x1x2=48种；

（2）C与A不同色，则C只有一种颜色可选，D有一种选法，所以 =4x3x2x1x1=24种；

综上： 种。

解法二：按颜色的种数分类讨论解题

（3）若用三种颜色，则A与C同色，B与D同色，所以 种；

（4）若用四種颜色，则先染P，有 种，再染A，B有 种，再染C有 种，再染D有1种，

所以 =48种；

所以 （种）

解法三：将立体问题转化为平面相邻区域染色问题

如下图，原问题可以转化为将图中五个区域用4种不同颜色染色，要求相邻区域不同色，求不同的染色方法？其中区域P对应棱锥顶点P。

根据分步计数原理，按 顺序染色，由于C位置特殊，故分C与A同色和C与A不同色两类讨论：

（1）C与A同色时，则 =4x3x2x1x2=48种；

（2）C与A不同色时，则 =4x3x2x1x1=24种；

所以 种。

【变式3】如图四棱锥 ，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？

解：将立体图形问题转化为平面区域染色问题，如左图，

图中5号区域相当于四棱锥中底面ABCD，其他 4个区域相当于四棱锥四个侧面，问题又回到例3的解法三，所以

总结：变式题的解题方法体现了数学思想中的化归思想，对培养学生能力有很好的意义。

（四）线段染色问题

【例4】：如图，用4种不同颜色给五边形ABCDE每条边染色，要求一条边只染一色，且相邻边不同色，问共有多少种不同染色方法？

解：本题的本质就是环形染色问题，

由通项公式

知：N

【变式4】如图，用四种不同的颜色给正四面体A-BCD的每条棱染色，要求每条棱只染一色，且相邻边不同色，问共有多少种不同染色方法？

解：四面体A-BCD中共有三组对棱，AB与CD，AD与BC，BD与AC，共四种颜色，故必有两组对棱组内同色，但组与组之间不同色，所以

小结：计数原理是排列组合的基础，也是染色问题研究的基础，通过对四色染色问题的简单探讨，我们发现染色问题中分类讨论思想，转化与化归思想等数学思想得到充分应用，所以染色问题是培养学生逻辑思维能力，创新思维能力，空间想象能力和转化能力的很好的平台。

正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，面对复杂的事物和现象学生对分类和分步的选择容易产生错误的认识，所以分类计数原理和分步计数原理的准确应用是本节课的教学难点。必需使学生认清两个基本原理的实质就是完成一件事需要分类还是分步，才能使学生接受概念并对如何运用这两个基本原理有正确清楚的认识。教学中两个基本问题的引用及引伸，就是为突破难点做准备。

（作者单位：重庆市万州高级中学）