数学问题：从“价值”到“处理”

钱德春 吕同林

摘要：数学教学中，数学问题的价值在于让学生感到“有困惑”（产生认知冲突）、“有意义”（直击数学本质）。数学问题的来源包括生活现实、数学现实、其他学科现实。数学问题既可以产生于教师的预设，也可以产生于学生的生成。数学问题的表征形式是多样的，如文字表征、数式表征、图表表征、模型表征、实验表征等，对同一类型也可以从不同方向进行表征。数学问题的呈现形式可以分为“自下而上”式和“自上而下”式。基本的数学问题处理方式有学生自主探究、相互协作学习、教师引导点拨。

关键词：数学问题价值预设生成处理

问题是数学的心脏，是数学知识的引发点，是数学思维的驱动器，也是数学教学的逻辑起点。引导学生发现、提出问题和分析、解决问题，在“问题解决”中建构数学知识、发展数学思维、提升数学素养，是数学教学的根本任务。数学教师在教学中必须面对的问题是：数学问题有什么价值？从哪里来？如何产生？有哪些形式？怎样表征？怎样呈现？如何处理？本文对此谈一谈笔者的思考。

一、数学问题的价值

许多数学课堂比较重视情境引入。这无可厚非。然而情境的作用何在？不少教师不假思索，脱口而出：激发学生的学习兴趣呗。理念决定行为。不少教师逢课必“情境”：或讲一个有趣的故事，或呈现、播放一些吸引学生眼球的图片、视频，或让学生做一个游戏，或让学生进行操作……有的课堂在情境引入环节需要用去四五分钟时间，看上去很花哨、喧闹，可学生在“兴奋”之后却不知道要干什么。裴光亚先生说：教育价值是教学设计的灵魂。事实上，情境作用还在于让学生感到“有困惑”（产生认知冲突）、“有意义”（直击数学本质），从而提出数学问题，引发数学思考和探索，促进深度建构和理解。

（一）“有困惑”——产生认知冲突

学生感到“有困惑”，产生认知冲突，才有学习与研究的动力。比如，教学“一元二次方程的认识”时，不少教师通过实际问题列出方程x2=2、x（19-2x）=24、x2+（x-1）2=25、5（1+x）2=9.8，然后引导学生归纳共同特征、给出定义。但是，没有从学生的角度思考：方程列出后最关心什么？有认知冲突吗？为什么要学这个内容？其实，这些问题才是学习的价值，也是教学的出发点。而事实上，学生最关心结果是多少。方程x2=2直接可以得到x=2（负值舍去），方程5（1+x）2=9.8可以用开平方法，而方程x（19-2x）=24、x2+（x-1）2=25目前难以直接求解。如果给学生足够的自主探究时间，他们会将这些方程重新整理，考虑能否转化为学过的方程。此时，学生的认知冲突自然产生，教师顺势提出问题：这是什么方程呢？这时，给这样的方程下定义的时机就成熟了。

（二）“有意义”——直击数学本质

有些问题直击数学本质，更有数学意义，更加值得提出。比如，教学“三角形中位线定理”时，许多教师设计这样的问题情境：要测量一个水池不能直接到达的两点A、B之间的距离，在地面上取另一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E（如图1），量出DE的长，就知道AB的长，你知道这是为什么吗？让学生画一画、量一量、猜一猜、想一想。那么，问题来了：怎么想到设计这样的图形的？为什么要这样？一定要这样吗？基于此，一位教师这样设计：利用几何画板画出△ABC，设D为边AC上一动点，作DE∥AB，交边BC于点E（如图2），将点D在边AC上从点C向点A移动，在移动的过程中，你发现DE的长度如何变化？（预设：从0到AB的长。）在DE从0变到AB长的过程中，你发现有什么特殊的长度吗？（预设：一定有一个长度等于12AB。）这是“一般中的特殊”，体现了数学的本质，有研究的价值。

二、数学问题的来源

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学素材和问题情境的选择“应该尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系”。

（一）数学问题来源于生活现实

现实世界是数学的源头活水。一方面，数学是对现实世界的抽象和概括，另一方面，数学原理和模型又可以从现实中找到原型。初中学生的思维正处于从直观感性向抽象理性转变的阶段，他们对现实世界充满了好奇，對身边的数学现象探索兴趣浓厚。如果教学中能够借助生活现实引入数学模型，学生对数学知识与方法的认识、感悟会更加深刻、持久。

比如，教学“零指数幂存在性”时，选取细胞分裂的实例，探讨细胞分裂3次、2次、1次后数量表示规律，然后追问：没有分裂时，细胞个数如何表示？学生自然会回答是“1”。接着，让学生在数轴上寻找20表示的点的位置。通过实际情境和实践操作，学生充分感受到了“零指数幂”的现实意义。

再如，教学“有理数乘法运算法则”时，利用“水库水位升降”的生活现实，让学生自主列式，并分析因数与积之间的符号、绝对值关系。通过现实意义感悟符号法则，促进了有理数乘法法则的有效建构。

当然，素材的选择要注意适切性。例如，利用“跳水运动员入水时身体与水面的关系”作为“直线垂直”的例子，由于该情境近似于“线面垂直”问题，所以用于“直线垂直”教学并不妥当。

（二）数学问题来源于数学现实

从数学内部现象出发，引导学生展开思考和探索，进而发现新规律、产生新知识，本质上是一种创新、创造和发明。数学发展史上的三次危机都来自数学内部矛盾，正是对这些矛盾的探索与解决，推动了数学的发展。弗赖登塔尔倡导“纵向数学化”，就是让数学知识层层推进，思维逐级攀升;让数学知识自然生长和内化，思考灵动而深刻。抓住数学内部矛盾和联系展开数学教学，不失为一种行之有效的教学策略。

比如，教学“零指数幂与负整数指数幂”时，可以提出问题：前面研究同底数幂的除法性质am÷an=am-n时限定了m>n，但是现实中m可以小于或等于n。当m≤n时，运用此法会出现什么情况？（预设：指数出现了0和负整数。）如果用乘方的定义解释，a3表示3个a相乘，那么，a0是不是表示0个a相乘？a-1是不是表示-1个a相乘？当m≤n时，同底数幂的除法运算可否进行？怎样计算？一连串从数学知识内部产生的问题，激发了学生的探究欲望。

（三）数学问题来源于其他学科现实

许多数学问题的产生以及数学观点的提出源于其他学科面临的挑战。比如，微积分概念的提出与理论的突破，一个重要原因是解决运动中即时速度的问题;而物体的重心、物体相互作用的引力等的研究，都提出了新的数学问题。

因此，通过其他学科现实提出数学问题是数学教学的一种策略。比如，根据运动、压强等物理现象提出函数问题。学生经历由物理现象抽象数学问题的过程，可以触摸数学学习的意义，坚定数学探究的信念。

三、数学问题的产生

数学问题既可以产生于教师的预设，也可以产生于学生的生成。

（一）数学问题产生于教师的预设

教师预设的问题直接关系到教学目标的达成，影响到学生学习的效果。比如，教学“可化为一元一次方程的分式方程”时，学生的学习目标是“理解分式方程以及增根的意义，会将分式方程转化为整式方程，知道解分式方程时产生增根的原因”，认知基础是“一元一次方程”。教师可以预设这样的解方程问题：（1）2x-54+x3=12;（2）3x2-1+1=x-1x+1;（3）xx-1+1=1x-1。这三个方程都含有分母，都可以通过直接去分母解决。但是，这三个方程又各有意图：方程（1）是一元一次方程，学生利用已有知识可以直接解决;方程（2）和（3）都是分母含有字母的方程，学生同样去分母，解方程（2）得x=-12后不会发现“异常”，解方程（3）得x=1后会发现分母为0，即方程无意义了。学生的问题由此产生：怎么会出现这种情况呢？进而探讨原因，说明这样的方程与已学的方程不同，必须给出定义并进行研究。学生问题的产生正是源于教师精心的预设。

（二）数学问题产生于学生的生成

课堂上生成的问题最鲜活、最灵动、最具有针对性，教学的亮点就在于鲜活、灵动、精彩的生成。课堂上生成的问题主要源于学生理解的不到位甚至错误、思考的跳跃等。不同的学生，生活背景、认知的习惯以及看待问题的角度等方面具有个性特质，但是，无论共性问题还是个性问题，都具有一定的研究价值，具有批判性思维的特征，有必要引导学生探讨，从而去伪存真、优化创新，获得更深刻的认识、更透彻的理解。比如，教学“反比例函数的性质”，在研究性质“当k>0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y都随x的增大而减小”时，学生根据学习“一次函数”时的经验“当k>0时，y随x的增大而增大”，提出质疑：这里为何要强调“在每一个象限内”？这正是新知识内化和生成的关键点。

当然，数学问题的两种产生方式不可能截然分割：有时学生的生成源于教师巧妙的预设，有时教师的预设源于学生以往的生成。值得一提的是，学生生成的问题有些是暂时无法说清楚的，让学生有所感悟就行了，不必纠缠于此（这就是裴光亚先生所说的“从不严格到严格，奔着严格而去”）;学习过程中的生成和内化才是课堂教学的关键。

四、数学问题的形式

关于数学问题的形式，这里从问题的表征形式和呈现形式两个方面阐述。

（一）数学问题的表征形式

问题表征是“问题”在人脑中的重新“编码”，它既是对问题理解的过程，也是对问题理解的结果。准确、合理、全面地对问题进行表征，是寻找问题解决策略的前提。数学问题的表征形式是多样的，如文字表征、数式表征、图表表征、模型表征、实验表征等，对同一类型也可以从不同方向进行表征。

比如，求点P（-1，-2）到直线y=-43x+4的距离。这个问题中的“距离”是关键词，由对“距离”的不同表征可以得到相应的解题思路。由“距离”想到“垂直”，进而想到“直角三角形”，再想到“勾股定理”“三角函数”“直角三角形相似”;由“距离”想到“高”，进而想到“三角形的面积”……这些都可以是解决策略的源头。

再如，已知A、B、C、O为平面内四点，且AO=BO=CO，∠BOC=110°，求∠BAC的度数。如果只从表面上看问题，由线段相等求角的度数，那么，过程比较复杂，还容易漏解。换一种表征方式，将“AO=BO=CO”转换为“点A、B、C在以O为圆心、AO长为半径的圆上”，则可知A、B、C三点都在⊙O上，点A可能在优弧BC上（如图3），也可能在劣弧BC上（如图4），问题迎刃而解。

数学问题的有效表征是学习的难点之一。教学中，要有意识地引导学生尝试问题的多种表征，为解决问题寻找策略与思路。比如，将当前问题用相关的定义、基本事实、定理、公式表征，同一对象（或问题）用不同语言表征;将当前问题用等价的其他问题表征，将当前问题用相近或相邻的问题表征……

（二）数学问题的呈现形式

数学问题可以有多种呈现形式。从呈现的顺序与结构来看，可以分为“自下而上”式和“自上而下”式。所谓“自下而上”式，就是从基本问题出发，基于学生已有的认知，通过设计“问题链”、搭建“脚手架”等方式，不断启发学生逐步生成知识、积累方法、升级思维，最终解决“更高级”“终结性”的问题。所谓“自上而下”式，就是直接抛出思维含量较大的问题，引导学生通过分析、分解问题，最终将问题“后退”至认知所能抵达之处。

比如，教学“零指数幂与负整数指数幂”时，可以分两步进行。教学“零指數幂”时，可以采用“自下而上”式：设计感知a0=1的必要性、合理性以及多元表征等教学环节，逐步铺垫，慢慢引导，进而得出“a0=1（其中a≠0）”的“规定”。教学“负整数指数幂”时，由于学生已有学习“零指数幂”的经验，可以采用“自上而下”式：直接抛出问题，让学生自主寻找解决问题的路径，进而理解“a-n=1an（其中a≠0）”的“规定”。这样既能检验学生对同类问题解决策略的掌握，又能激发学生探究新知的欲望。

“自下而上”式和“自上而下”式不仅可以作为数学问题的呈现形式，也是数学定理、公式和解题教学的策略。比如，在数学解题教学中，从基本问题出发，充分铺垫，逐步拓展、提升，直至所要讲解的综合问题，就是“自下而上”式;直接呈现一个“大”问题，然后逐步“后退”到基本问题，直至学生顿悟之处，就是“自上而下”式。至于采用哪种呈现形式，要根据学生的认知能力、思维方式和个性特征来确定，还要根据学习内容与学习阶段来确定。

五、数学问题的处理

教学中，如何处理数学问题可谓见仁见智，没有一种放之四海而皆准的范式，既取决于教师对数学、教材、学生和教学的理解，也需要根据问题的形式、难度，结合学生的认知基础、思维能力区别对待。但是，无论如何处理，都应该有一些基本原则和基本路径可以遵循。基本的数学问题处理方式有学生自主探究、相互协作学习、教师引导点拨。

（一）学生自主探究

对于学生利用已有的数学知识、解题经验、迁移能力可以独立完成的问题，可以让他们自主探究。比如，教学“矩形、菱形、正方形”时，学生已经研究了平行四边形，掌握了平行四边形的研究内容（平行四边形的对称性以及边、角和对角线）、研究路径（平行四边形的判定——从数量关系到位置关系;平行四边形的性质——从位置关系到数量关系），教师可以放手让学生类比平行四边形的研究，自主展开矩形、菱形、正方形的研究。另外，新知学完后的巩固性任务也可以让学生自主探究。

（二）相互协作学习

协作学习是一种学生通过小组或团队的形式学习的策略。学生可以将探索、发现的信息与小组或团队内的成员分享、交流。用好协作学习策略，有利于增强学生的思辨能力、表达能力和沟通能力。

问题出现后，可以在学生独立思考，有了结论时，组织学生讨论、交流。比如，教学“乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2”时，提出这样一个问题：改变（a+b）2中a、b前的符号会有哪些情况？它们分别如何计算？这是一个开放性问题，改变符号后得到的式子会有不同，每个式子计算的方式会有不同，由此可以比较哪种方式更简洁。学生独立思考这些问题并有了自己的想法后，教师可以组织学生小组协作、讨论交流，了解自己与他人思路的异同，达到取长补短的目的;同时，还能碰撞出思维的火花，让学生思维的广度和深度得到进一步发展。

对于一些不能独立进行的实验操作和综合实践活动，也应该采用协作学习的方式。比如，教学完“平行投影和中心投影”后，开展综合实践活动：测量学校广场旗杆的高度。这是一个实地测量的实验操作活动，它要求学生利用所学知识设计、选择、优化方案，需要小组成员通力协作，进行测量与计算，并撰写实验报告。

当然，协作交流并不意味着放弃独立思考。恰恰相反，协作交流中学生的独立思考尤为重要。如果问题提出后直接让学生讨论、交流，就很难产生思维的碰撞与提升，还会使课堂成为“学优生”的“一言堂”，这样的协作学习是虚假的、低效的。

（三）教师引导点拨

教师是“学习的组织者、引导者与合作者”，要明确自身的角色，不能越位也不能缺位，“该出手时就出手”。当然，教师引导不能代替学生思考，而应指出思考方向，搭建思维“脚手架”。

教师应该在学生遇到困难时给予引导，在学生跑偏方向时给予纠正，在学生认识肤浅时给予点拨。比如，教学“反比例函数”时，尽管学生学习了“一次函数”，知道从定义、图像、性质和应用四个方面进行研究，但是由于反比例函数与一次函数的图像与性质有较大的区别，在作出y=6x的图像之前，教师可以做一些引导：xy=6>0，故x、y同号，相应的点只能在第一、三象限;xy=6≠0，则x≠0、y≠0，则图像上的点不能在坐标轴上;|x|无限增大时，|y|无限接近于0，则图像上的点无限接近坐标轴……这样的引导让学生的探究有方向、有路径。

当新知生成或问题解决后，学生头脑中的知识可能处于“碎片化”状态，理解也可能停留在浅层次。这时，学生需要教师的点拨。比如，学生学习了“探索全等三角形的条件”后，教师引导学生梳理建构，然后提问：一般三角形全等的判定方法有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，为什么没有“SSA”？对此，教师通过实例引导学生深入探究：如图5，已知线段a、b及角α，画△ABC，使∠B=α，BC=a，AC=b。在画出∠B=α，BC=a后，以C为圆心、b为半径画弧，该弧与∠B的一边BM的公共点就是点A，而公共点的个数由b的大小确定：如图6，作CH⊥BM于點H，当CH<b<a时，有两个公共点A1、A2，符合条件的三角形有△A1BC和△A2BC两个。这两个三角形满足“SSA”，但不全等。通过教师引导下的探究，学生对问题的理解更加透彻，认识得到了升华。

再如，解决一道题目后，教师要带领学生思考：问题解决用到了哪些知识？有哪些思路、策略？渗透了哪些思想方法？问题从哪里来？还可以往哪里去（即有何变式）？……通过教师的点拨，学生的思维会更加深刻。

参考文献：

[1] 钱德春.基于问题驱动与价值引领的课堂教学——沪科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”观课有感[J].中学数学（初中），2017（3）.