浅谈向量法在立体几何问题中的应用

石泽忠

摘 要：空间几何的问题主要是以简单的几何体为载体考查空间中线、面的关系。而空间中线、面的关系需要转化到平面上来讨论，但这种“降维”有时很不好转化。而空间向量为我们提供了一种非常有效的解法，其主要依据是空间向量本身的意义以及它的运算性。

关键词：立体几何;向量法

高考立体几何大题总是围绕着直线与直线、直线与平面、平面与平面关系，依托棱柱、棱锥设计题目，从证明的方面来说，分证明平行与垂直两大类;从计算题的方面来说，分空间角的计算，距离的计算，表面积与体积计算三大类。平行问题相对来说比较简单，本文着重对用向量法解决求异面直线所成的角（线线角）、直线与平面所成的角（线面角）、平面与平面所成二面角的平面角（面面角）以及垂直和点到平面的距离的问题。

首先对相关知识进行梳理：

1.空间位置关系的向量表示

位置关系 向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为a，b l1∥l2 a∥ba=λb

l1⊥l2 a⊥ba·b=0

直线l的方向向量为a，平面α的法向量为m l∥α a⊥mm·a=0

l⊥α a∥ma=λm

平面α、β的法向量分别为n，m α∥β n∥mn=λm

α⊥β n⊥mn·m=0

2.空间向量与空间角的关系

（1）设异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，则l1与l2所成的角θ满足：

cosθ=|cos〈a，b〉|，

（2）平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.

设直线l的方向向量和平面α的法向量为a，m，则直线l与平面α所成角θ满足：

sinθ=|cos〈a，m〉|，

（3）求二面角的大小（）

Ⅰ.如图①，AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ=.

Ⅱ.如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=cos〈n1，n2〉或-cos〈n1，n2〉.即

cosθ=|cos〈n1，n2〉|，

3.点A到平面α的距离：，其中，是平面α的法向量。

运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时，一般步骤为：

建立恰当的空间直角坐标系（必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂直关系：线线垂直、线面垂直、面面垂直）;

求出相关点的坐标;

写出向量的坐标;

进行向量运算;

转化为几何结论。

典例讲解：

例1、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD.求异面直接PD与BC所成角的余弦值;

解法一：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，又PB⊥PD，BO=2，PO=，

由平面几何知识得：

以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（-1，0，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，），

（Ⅰ），，。若PD与BC所成的角为，则。故直线PD与BC所成的角的余弦值为

评述：注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系：相等或互补;

求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示，

例2、如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图（2）.

（1）求证：A1C⊥平面BCDE;

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小;

（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.

【解】（1）证明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，

又A1C平面A1DC，∴DE⊥A1C又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE

（2）建立空间直角坐标系C-xyz则A1，D（0，2，0），M（0，1，），B（3，0，0），E（0，2，0）

设平面A1BE的法向量为n=（x，y，z），则

又

令y=1，则

设CM与平面A1BE所成的角为θ，

∴CM与平面A1BE所成角的大小为

（3）线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.理由如下：

假设这样的点P存在，设其坐标为（p，0，0），其中p∈[0，3].

设平面A1DP的法向量为m=（x′，y′，z′），

则又

令，则

平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n=0，即4+p+p=0  解得p=-2，与p∈[0，3]矛盾.

评述：若用综合推理的方法不易入手，可用向量代数的方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来证明线面垂直，从而证得面面垂直.证明面面垂直的原理是一致的，只不过是证明的手段不同.

例3、如图，几何体EF?ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°

（1）求证：AC⊥FB;

（2）求二面角E-FB-C的大小.

【解】（1）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，

∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，

∵四边形CDEF为正方形，∴DC⊥FC

∵DC∩AD=D，

∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC

又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，

∴AC=2，BC=2

则有AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB

（2）由（1）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），

设平面EFB的法向量为n=（x，y，z），

则有，，

令，则

由（1）知平面FCB的一个法向量

设二面角E-FB-C的大小为θ，由图知

评述：利用向量法求二面角的步骤：

（1）建立適当的空间直角坐标系;

（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;

（3）求出两个法向量的夹角;

（4）判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角;

（5）确定出二面角的平面角的大小.