导数在高中数学中的应用

裴霞

导数是高中数学中的重要内容，是联系多个方面内容并解决相关问题的重要工具。作为分析问题和解决问题的重要工具，其近些年来都是考试和考察的重要内容，因此，文章将对导数在高中数学中的实际应用进行阐述，并指出其在高中数学中的重要性。

一、导数的定义

导数的概念

高中数学中的导数，既是微积分中的重要基础性概念，也是函数的局部性质。指的是当一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点的变化率，且函数的自变量和取值都是实数时，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表曲线在这一点上地切线斜率。其本质就是通过一种基础概念对函数进行局部的线性逼近。然而，函数又具有可导性和不可导性，及相应的可导函数和不可导函数。对于导数的定义，用数学符号表达为：

2.导数和函数的基本性质

导数和函数都具有两个相同的基本性质，即单调性和凹凸性，导数和函数性质具有一定的相关性，当函数的导数大于零时，函数表现为单调递增，反知当函数的导数小于零时，函数则表现为单调递减。其中有一种特殊情况就是当倒数为零即出现函数驻点的时候，我们就需要进行检验，检验方法就是带入驻点左右两边的数值求导数正负判断是否具有单调性。

可导函数的凹凸性与导数的单调性具有相关关系，当函数在某一个区间上单调递增时，该函数的区间轴向呈现出向下凹的状况，反之则表现为向上凸的形态。而曲线的凹凸分界点称作为曲线的拐点。

3.导数的计算与求导法则

所谓导数的计算，其实就是指对已知函数的导函数进行计算，我们可以根据导数的定义，运用变化值的极限进行计算。复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，也可以成为链式法则。在高中数学的导数计算中，运用者必须要对简单函数的导函数有一个整体的掌握，才能根据导数求导法则推算复杂函数的导函数。

所谓导数的求导法则，是由基本函数的和、差、积或者相互复合构成函数的导函数，通过函数的求导法则来对导数的求导法则进行推导地基本法则主要有四种，其一是求导的线性，通过线性组合求导，其实就是先对其中各个部分求导，然后再进行线性的组合；其二是两个函数乘积的导函数，其表现形式为一导乘二加上一乘二导；其三是两个函数商的导函数是一个分式。即子导乘母减去子乘母导后，再除以母平方；其四是当遇到复合函数时，就需要用链式法则进行求解。

二、导数在高中数学中的应用

1.导数在不等式证明问题中的应用

不等式证明作为高中数学教学中的一个难点，是一门综合性较强的知识点，对学生的解题思维能力要求极高。通常情况下在数学教学过程中，当遇到运用常规的解题方法不能解决问题时，就会采取导数的思维方法，以便于问题的解决。通过运用导数概念进行不等式问题解析，可以有效地引导学生更快完成问题内容。将不等式与函数相互结合起来，运用导数的相关内容河解题模式，可以快速解决问题。

2.导数在求曲线的切线方程中的应用

在解析几何问题的时候，也可以运用导数的概念进行问题分析。如f′（x0）所表示的的几何意义为曲线y= f（x）在点（x0，f′（x0））处的切线的斜率，因此在数学运算中，可以据此来研究其他更多的与曲线切线相关的问题，同时利用倒数的概念，还可进行解析几何中的最值问题的处理。在导数的应用中，求曲线的切线方程是重要的应用之一，运用导数的概念进行切线方程计算的关键，在于首先要求出切点P（x0，y0）及该曲线的斜率，其运算过程大致为：设 P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的一点，则以P为切点的切线方程为：y-y0=f′（x0）（x-x0）。若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x=x0。对于该类型问题的解决方法，可以先设切点，再求切点，即运用用待定切点法来求解。

3.导数在研究方程根的分布中的應用

在进行方程式根的计算过程中，我们也可以引用导数的概念进行方程根的研究和探讨。如：设函数f（x）在（a，b）上连续，f′（x）在（a，b）上保持符号，当f（a）f（b）<0时，则可知函数f（x）=0在（a，b）上有一个唯一的实根，反之当f（a）f（b）>0时，则函数在 f（x）=0在（a，b）上没有实根。

由点到面，上述结论可以推广到无穷区间的应用之中，即：我们设函数 f（x）在（a，+∞）上连续，f′（x）在（a，+∞）上保持符号，当f（a）与 limx→+∞f（x）异号时，则f（x）=0在（a，+∞）上有一个唯一的实根，而当f（a）与 limx→+∞f（x）同号时，则f（x）=0在（a，+∞）上没有实根，在区间（-∞，a）上，也可以得到相类似的结论。

三、导数在高中数学教学中的重要作用

1.有利于学生更好的理解函数形态和掌握函数思想

在数学教学中，实际上有许多数学问题都是无法或者难以通过初等数学方法进行解决的。但是，如果引入函数思想，将这些数学问题抽象成为数学模型并建立起相关的函数关系，充分利用导数的应用性和工具性，这些问题都会得到很好的解决。而在函数的学习和运用中，学生可以通过函数一阶导数确定函数的单调性、最值以及其区间等；而通过函数二阶导数学生还可以判断函数的拐点以及凸凹区间等，然后再结合极限的思想，便可以很容易的找出其垂直渐近线和水平渐近线，然后就可以较为准确的画出函数的图像。

2.有利于学生学习其他自然学科

数学作为一门基础性学科，具有基础性和工具性，其与高中物理、化学等自然学科有着密切的联系。前文讲导数实际上是微积分中的重要概念，其研究的基本对象是函数，以函数的极限为基础，主要涉及变量的“变化率”问题，并被广泛运用在化学、物理、天文、工程等其他学科领域。

3.有利于发展学生的思维能力

通过导数的学习，学生可以摈弃以往静态、有限的常量数学观点，采取变化的动态的以及无限的变量数学观点来研究问题、认识世界。从而在学习的过程中逐步理解有限与无限、近似与准确、常量与变量等对立与统一观念，起到发展学生的辩证思维能力的作用。

四、结语

函数的应用涉及范围实际上非常广泛，本文仅是列举一二。 在实际的数学教学中，我们要强调导数的重要性，不断强化学生运用导数知识解决数学问题的意识，促进学生数学素养的提升，为其他自然学科的学习打下良好的基础。

参考资料：

[1]陈禹.浅析导数在高中数学中的地位与应用[J].课程教育研究，2017（46）：125.

[2]周海锋.高中数学导数教学的再思考[J].教师，2015（32）：43.