对公式教学的一点思考

刘刚

经历多年的高中数学教学实践，发现许多同学在高中数学的学习中存在许多的困难。比如在学习新公式的时候，产生了许多同学对公式“来龙去脉”不理解导致胡乱应用公式，生搬硬套。也有许多同学只管公式的“形”似，不管公式的“神”，导致运用公式的时候“貌合神离”“不伦不类”。也有许多同学只会只能做“顺流而下”，不能“逆水行舟”。诸如此类的问题，究其原因是：（1）在高考的大背景下，为了取得更好的高考成绩，很多地方教育部门要求学校老师在两年的时间内完成高考内容的教学。因此许多老师在公式的教学中“一笔带过”，导致学生在公式学习中对公式的“来源”不清晰，当然就不能解决公式的去向问题。更加不了解公式在什么时候用，怎么用！（2）在学生学习方面，很多同学不深刻理解公式的结构特征，不注意公式的变化形态和公式的正用，逆用，不领悟渗透在公式推导过程中的数学思想，处理方法，不思考公式产生的背景与成立条件，从而直接影响了基础知识的掌握，间接的影响了学生应用能力与解题能力的提升，更为严重的是不利于学生自主创新思维能力的培养。结合上述原因，个人觉得教师在实际教学中要注意以下几个方面：

一在公式教学过程中注重公式产生的条件背景。注重条件背景可以帮助学生理解在什么情况下使用，在什么条件下使用。例如;在平面向量章节中有一重要结论：向量终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ，且λ+μ=1，使得=λ+μ;反之，也成立.它的条件背景就是平面内的三点共线。注意结论背景就可以快速解决下列问题：如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点.若=x，=y，求的值.由重心易得，又由G，M，N三点共线可得，所以=3.让学生重视问题背景，公式成立条件对于学生快速灵活运用公式可以起到积极作用。

二在公式的推导的过程中注重层层递进。以便于学生理解推导过程中的数学思想和处理方法，是为了帮助学生理解前后知识的连贯性，加强数学思想方法的培养。重视公式的证明方法和推导过程的教学才能最大限度提高学生数学逻辑思维能力。从而提高解题能力。才能真正达到对战高考，赢得高考的最终目标。忽视了公式证明方法和证明过程的教学，结果使学生一知半解;既影响了学生对公式的掌握和运用，又影响了学生思维能力的培养。从而就会形成我们教学中的“夹生饭”，炒了“回锅肉”的情况。要做到公式的推导过程层层递进，教师必须在课前仔细阅读教材，把握好教材的“脉络”，结合自己的教学风格，创设出适合学生的“最近发展区”，然后步步为赢，稳步推进，从而实现引导学生理解公式，把握公式背景，提升数学思想方法和逻辑思维能力。达到快速理解，做到“知其然，知其所以然”的目标。比如在二项式定理的教学过程中，就可以从观察，，得到展开式的三个规律：（1）展开式中每一项的次数和是n。（2）a的次数逐项降低同时b的次数逐项升高，（3）展开式一共有n+1项。应用规律（1）（2）可以猜测到展开式中的第r+1项应该为。在此猜测的结论下结合排列组合知识即可进行证明;表示n个（a+b）相乘，并且我们右边的每一项的次数和是n。那么我们右边的第r+1项为，那么A是在n个（a+b）式子中使用选r个（a+b）使用b，去乘以余下的n-r个式子中的a的时候的选法数。所以A=。运用这个思想即可快速解决诸如求展开式中含项的系数，求中含项的系数之类的问题。现行的人教A版教材的编写者，独具匠心。在公式的教学中增加了培养性作用。如在推导等差数列、等比数列的前n项和公式，教材选取了很具一般性的两种方法，倒序相加法和错位相减法，教师不仅仅要让学生牢固掌握公式结论，更要通过公式教学帮助学生的学会应用倒序相加法和错位相减法。所以在公式的教学中就必须既要重视公式结论的教学，又要重视推导过程和方法的教学，从而提高学生理解公式、灵活运用公式的能力，形成深刻理解、思维流畅，思想方法运用得当的思维品质。

三教会学生深刻领悟公式的形式结构及公式中的字母的含义与字母的不同限制。首先让学生树立公式中字母的限制优先，字母的含义其次，形式结构最后的思想。比如对数的运算性质必须要满足真数大于0，所以公式在M，N小于或等于零时是不成立的。其次一定要培养学生对数学公式字母可以进行整体代换的思想。因为公式反映了数学对象的属性之间的关系，公式中的字母却始终具有较广泛的代表性。它不仅可以代表具体的数字，还可以是代数式。只要符合公式的要求与限制，任何代数式均可代入公式进行运算。例如，和差角公式中表示任意实数，故可以用各种表示实数的式子代换公式中的，如：也是成立的。最后公式中的字母也具有相对性，如三角函数章节中的二倍角公式与半角公式实际上是同一组公式。所以在公式的教学中就必须让学生深刻理解公式中字母的限制性，整体代换性，相对性等。只有通过这些方面的针对性训练，才可以实现公式的正确应用，灵活应用。

四在平时作业与课堂练习中一定要加强公式的逆用、变形用训练。教学中常发现有些学生许多同学只会只能做“顺流而下”，不能“逆水行舟”。对于这类情况只要我们在平时的课堂教学中加强公式的逆用、變形用的训练，就能很大程度改变学生只会单向性用公式，同时在公式教学的各个环节进行多角度、全方位的透视，对公式的推证不仅要顺推，而且要逆推;不仅要用综合法而且要用分析法、反证法等多种方法证明。对公式的认识不仅要明确公式中数量之间的关系，而且应熟悉公式的结构特征，熟知公式的变换功能。例如，组合公式，从左到右具有消项功能变两项为一项，从右到左具有拆项功能把一项分为两项.用此公式证明等式就既可以从右边推出左边，又可以从左边推出右边。又如在立体几何垂直关系的证明中，如果我们把定理，性质当着公式来运用，那么就可以很快地运用条件和结论联系起来的方法快速分析出需要证明的方向从而轻松解决问题。

最后，在学生已经熟练掌握好公式的时候可以适度的指导学生利用已有的公式衍生出新的公式。许多公式实际上并不是完全独立的，它们很多是相互联系，相互关联的。妥善的处理好它们的关系可以得到许多有用结论。