分解因式，寻根溯源

林盈萧

最近我们学习了因式分解.在作业中我遇到了这样一道习题：

已知a+b=2，则a²-b²+4b的值是_______。

此题虽然不难。但引起了我的兴趣.我好好地将它“盘”了一番.

解法1：条件a+b=2，即a=2-b，呈现的是a与b的某种关联.我们可以将要求的式子中的所有的a用b来替换，便有：原式=（2-b）²-b²+4b=4-4b+b²-b²+4b=4。

解法2：同解法1.我们也可以用a来替换b，即b=2-a，同样可得结果.

解法3：我们不仅可以在a，b间互相切换。也可以将2用a+b来替换，则：原式=a²-b²+2（a+b）b=a²+b²+2ab=（a+b）²=4。

解法4：原式中的a²-b²非常“显眼”，所以分解因式后有a²-b²+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=4。

题目解到这里。呈现了多种方法，既有整式代换的核心理念.又有局部分解因式的先进思路.但是我心中仍有困惑：究竟是什么原因让这个代數式的值是一个常数呢？它的本质是什么？我请教老师后恍然大悟.原来，a²-b²+4b=a²-b²+4b-4+4=a²-（b-2）²+4=（a+b-2）（a-b+2）+4。如果a+b=2，那么便有：原式=0x（a-b+2）+4=4。由此也发现，如果条件换为a-b=-2，原式的值也为4.如此一来，问题就可以变得更开放而且更深入.即当a和b满足什么关系时.代数式a²-b²+4b为定值？答案应该是a+b=2或a-b=-2.老师“狠狠地”表扬了我的刨根问底的精神！

根据以上探究，我又自编了两道题目，有兴趣的同学不妨尝试一下（答案在本期找）：

1.当a和b满足什么关系时.代数式a²-2a-b²-4b为定值？并求出该定值.

2.当a和b满足什么关系时，代数式a²+4a+2ab+b²+4b+5为定值？并求出该定值.

老师点评：数学教育家傳种孙先生曾谓：“几何之务不在知其然.而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然.”题海无涯。但万变不离其宗.运用厚重而务实的代换思想，或者四两拨千斤的因式分解，都可以寻找到此题的“源头”。112EA24F-F0E1-40A7-9FEC-FB8FFA118CB6