“二项式定理”（第1课时）教学设计

于磊

摘要：二项式定理是中学数学的重要组成部分。此节课教学设计以学生体验参与教学为主题，利用多媒体教学辅助手段，注重提高学生的数学学科核心素养和学生的数学思维发展。

关键词：二项式定理;排列组合;二项式系数;核心素养;思维发展

一、教材分析

此节课是人教A版《普通高中数学课程标准实验教科书·数学（选修2-3）》第一章第3节的内容。二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸。此节内容安排在排列组合之后，既是对组合数的应用，又是为学习二项分布做准备。二项式定理是从特殊到一般进行的归纳与概括，这部分内容对于培养学生的数学抽象与数学建模素养有着不可忽视的价值。

二、教学目标

（1）知识与技能：用多项式乘法和计数原理推导二项式定理，培养学生的合作探究能力。

（2）过程与方法：通过情境创设让学生体验定理的形成过程，感受知识的发生是自然的，体验多项式乘法和计数原理之间的联系;通过总结特征，让学生感悟从特殊到一般的研究问题的方法。

（3）情感、态度与价值观：学生在合作探究中体验成功的喜悦，在展示总结中提高数学抽象的素养，提升学生的语言表达能力。

（4）数学核心素养：提高学生的数学抽象素养和数学建模素养。

三、教学重点与难点

教学重点：二项式定理及其应用，解决与展开式有关的问题。

教学难点：二项式定理的获得过程。

四、教学策略分析

此节课的理论支撑是多项式运算法则和计数原理。因此，笔者首先要创设计数原理的教学情境，引导学生通过观察、归纳得到二次、三次、四次的展开式，然后采取问题追问的方式来组织课堂教学，给学生留有充分的思考、归纳、总结的空间。重视二项式定理的发现与获得的过程，让学生亲身体验公式的获得过程，体验从特殊到一般的数学抽象思想，通过白主探究达到突出教学重点、突破教学难点的目的。

五、教学方法与手段

利用类比、探索相结合的教学方法;以学生为主体、以问题为主线，启发、引导学生的数学思维，帮助学生建立数学模型，学生合作探究完成抽象的过程;利用多媒体技术，为学生提供直观的图象，激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效率。

六、教学过程与设计

1.问题引入

师：请回答（a+b）2的展开式。

生：（a+b）2=a2+2ab+b2。 笔者创设数学實验的问题情境：如下图，两个容器中有a（白），b（黑）球各一个，每次从两个容器中各取一个球放到一起，取得小球的结果有哪些类？每类结果有几种情况？能用计数原理的知识回答吗？

师：取得小球的结果有哪些类？

生1：aa，ab，bb三类情况。

师：每类情况有哪几种可能？

生1：aa有1种可能，ab有2种可能，66有1种可能。

师：观察问题（a+b）2的展开式与数学实验有何关联？

生2：（1）把小球看成字母;（2）取小球的过程相当于用多项式乘法把公式展开的展开式;（3）每类情况有几种可能的结果就是展开式的系数。

生3：以取得b球的个数作为分类标准（同时用组合数回答结果有几种），取0个黑球，2个白球的结果有C

种可能;取1个黑球，1个白球的结果有C

种可能;取2个黑球，0个白球的结果有C

种可能。

师：怎样用完全平方公式的形式回答？系数又怎样用组合数表达？

师：类比上面的方法，回答问题（a+b）3=_____？（a+b）4=______？你能发现哪些规律？

生4：项数是n+1项。

生5：系数是CO，C1，C2。

生6：a的次数变化规律从n次到0次幂，6的次数变化规律从0次到n次幂，ab的次数和等于，。。

生7：公式的应用条件是两项和的n次方。

2.新课内容

笔者引导，学生独立发现二项式定理，由学生自己完成二项式定理的展开式。

笔者介绍通项公式

和二项式系数等相关概念。

3.巩固训练

练习1：写出 （p+q）7的展开式。

师：若中间换成“一”会有什么结果？为什么？对比符号对展开式的影响。

师：（2a-b）6展开式的第六项是什么？

生9：T6= Ts+.=C5（2a）“5（-b）5= -12ab5.

练习2：已知（1+2x）5，求：（1）展开式的第三项;（2）第四项的二项式系数及第四项系数。以小组的形式相互讨论，得出答案，并展示讲解。

4.还原生活

师：今天是星期二，那么7天后的这一天是星期几呢？

生：也是星期二。

师：那么15天后的这一天呢？

生：是星期三。

是否发现了什么规律？学生探究总结。

5.归纳小结

此节课都有哪些收获？学生回答，笔者点拨。

（1）解决问题要回归数学本质;

（2）深入理解变量思想;

（3）用类比的思想方法解决新知识、新问题;

（4）提高数学抽象的素养。

6.课后作业

（1）必做题：教材第36页第1，2，3题;

（2）选做题：教材第36页第4，5题。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2018.

[2]张文娣.二项式定理及其应用[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2004（4）.