矩阵求逆的“伴随矩阵法”的一个讲授设计

王守峰 赵金星

摘要：伴随矩阵法是矩阵求逆的两种基本方法之一.本文从培养学生的自主学习能力和创新意识的角度，给出了矩阵求逆的“伴随矩阵法”的一个较为自然的讲授设计.

关键词：矩阵;矩阵的逆;伴随矩阵

中图分类号：O151.2  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）12-0008-02

1 引言

矩阵理论是线性代数的重要内容之一，而可逆矩阵是一类重要的特殊矩阵.如何判断一个矩阵可逆？如何求可逆矩阵的逆矩阵？现行的高等代数教材，例如文献[1-4]，一般介绍两种方法，即伴随矩阵法和初等变换法，文献[5]还讨论了伴随矩陣的原矩阵的问题.本文主要探讨矩阵求逆的“伴随矩阵法”的讲授方法和讲授设计.在当前的教材中，这一内容的讲授设计大致如下：首先提出可逆矩阵的定义，然后定义方阵A的伴随矩阵A*最后利用行列式按行按列展开式证明如下事实：方阵A可逆当且仅当|A|≠0，此时有A-1=A*.

上述讲授设计，论证上严密的，逻辑上是清晰的.但仔细考虑的话，会给人一种不太自然的感觉.例如，如何想到利用方阵的各元素的代数余子式来定义其伴随矩阵？这一问题对刚刚接触高等代数的大一新生来说是有疑惑的.因此，设计一个让初学者感到自然的讲授模式是必要和有益的.本文的目的是给出笔者在讲授矩阵求逆的“伴随矩阵法”时经常用的一个较为自然的讲授设计.

2 一个讲授设计

在现行教材中（例如文献[1-4]），一般是先讲方程组的Cramer法则，然后再讲逆矩阵.基于这一事实，可以对矩阵求逆的“伴随矩阵法”的讲授作一个较为自然的设计.首先回忆Cramer法则.

以下给出矩阵求逆的“伴随矩阵法”的一个讲授设计.首先，通过类比，引入可逆矩阵的概念.容易看出，求解一元一次方程ax=b的本质是找数字c使得ca=1，此时就有x=cg.类比这一事实，对任意n阶方阵A，B，若存在n阶方阵C使得CA=E（AC=E），则可解矩阵方程AX=B（XA=B），此时有X=CB（X=BC）.容易看出，并不是对任意n阶方阵A，都存在矩阵C使得CA=E=AC.于是，有必要引入以下概念：称方阵A可逆，若存在矩阵C使得CA=E=AC.容易验证，若方阵A可逆，则其逆唯一，记之为A-1.一个自然的问题是，如何判断一个方阵是否可逆？可逆时如何求起逆？先从探索必要条件开始.设A可逆.则AA-1=E.两边取行列式知|A||A-1|=1.这表明矩阵可逆的必要条件是其行列式不等于零.行列式不等于零是否是其可逆的充分条件呢？设|A|≠0，A=（aij）n×n.我们想知道，能否找到方阵X=（xij）n×n使得AX=E=XA.设AX=E.则有

参考文献：

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