立体几何中的向量方法

吴丽萍

摘 要：本文从现行高考对立体几何中的向量方法内容的命题要求，对选修2-1的3.2内容作了调整后进行教学，更有利于学生的掌握.

关键词：空间向量  平行关系  垂直关系  空间角  空间距离  探索性问题

随着新课改的实施，新的课程标准的出现，高中数学的有关內容也作了相应的调整。比如引入了“立体几何中的向量方法”。现行人教版教材在选修2—1的3.2就本块内容作了介绍。本人认为本节内容教材的编写较粗线条，不利于平时的教学安排及学生的掌握，特别是刚走上讲台的新教师在教学时更无从下手。本人根据平时的教学经验，以及高考对此部分内容的命题要求（1、理解直线的方向向量与平面的法向量;2、会用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;3、会用向量方法证明直线和平面位置关系的有关命题;4、能用向量方法解决异面直线所成的角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用。）对此部分内容作了以下处理。

一、学这部分内容前可先学习必修2的3.4空间坐标系。

二、再学习选修2—1的3.2内容，且将这部分内容调整为以下四部分：

（一）第一部分：空间向量与平行关系

1、先介绍直线的方向向量与平面的法向量概念：

4）赋值：取其中一个为非零值;

5）得结论：得到平面的一个法向量。

（2）实例求平面的法向量：

4、用空间向量证明平行问题。

（1）例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1，DD1的中点，求证：

1）FC1∥平面ADE

2）平面ADE∥平面B1C1F

（2）思路点拨：1）只需证明直线FC1的方向向量与平面ADE的法向量垂直即可;

2）只需证明两平面的法向量平行即可。

**小结：用向量法处理空间中平行关系的关键是求得直线的方向向量与平面的法向量，借助直线的方向向量与平面的法向量之间的关系确定空间中的线、面平行问题。

（二）第二部分：空间向量与垂直关系

1、证明线线垂直：用向量法证明空间两直线相互垂直，其主要思路就是证明两直线的方向向量相互垂直。

（1）例4： 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1/4，求证：AB1⊥MN

3、证明面面垂直：用向量法证明平面与平面垂直，其主要思路就是证明两个平面的法向量垂直。

**小结：用向量法求空间角关键是求得直线的方向向量与平面的法向量，借助直线的方向向量与平面的法向量之间的关系并利用公式求解即可。

（四）第四部分：利用空间向量解决立体几何中的综合问题

以棱柱、棱锥为背景，利用空间向量证明空间中线面关系、计算空间中的各种角是高考对立体几何的常规考法。随着新课改的深入，利用空间向量解决立体几何中的探索性问题越来越突出的表现出来。如：浙江高考以探索性问题的形式考查空间向量在解决空间角、空间位置关系及两点间的距离问题等方面的综合应用，是高考命题的一个新方向。

利用空间向量解决立体几何中的问题，首先要探索如何用空间向量来表示点，直线，平面在空间的位置以及它们之间的关系。也就是说，要建立立体图形与向量之间的关系，然后将立体几何问题转化为空间向量问题进行解决。

参考文献：

（1）普通高中课程标准实验教科书选修2-1  人民教育出版社;

（2）三维设计选修2-1  南方出版社