利用图形计算器，加强数学理解

高丽娟

一、问题的提出

在“互联网+”时代，信息技术的广泛应用正在对数学教育产生深远的影响。在数学教学中，信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，为学习和教学提供了丰富的资源。因此，教师应重视信息技术的运用，优化课堂教学，转变教学和学习方式。《普通高中数学课程标准》2017版在实施建议理指出“重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合”特别是利用信息技术，帮助学生理解数学，有助于学生的学习。

《抛物线的标准方程》选自普通高中课程标准实验教科书《数学》人教B版选修2-1，2.4节.传统的教学方法是：教师利用丁字尺在黑板上画出抛物线，让学生观察运动过程中的动点，定点，定直线，发现动点满足的条件，给出抛物线的定义。这样的教法虽然也完成了抛物线的定义的教学，但是对于对于为什么要研究这种曲线，如何从知识系统的角度理解这种曲线？如何保证动点到定点和定直线的距离相等，从而深刻理解抛物线？ 这些问题都不能解决。我尝试利用图形计算器探究动点的轨迹及方程，有助于学生对于抛物线的数学理解。

二、教学实践

中学阶段，学生对于抛物线的认识要经历两次：第一次，在学习二次函数时，认识到二次函数的图象叫抛物线，是从形的角度认识抛物线，并且只知道开口向上（或向下）抛物线。第二次是在圆锥曲线这一章里，作为一种特殊的二次曲线来学习，从满足的动点的轨迹角度定义抛物线。这是从曲线与方程的角度认识抛物线。同时，学生前面学习了椭圆和双曲线的定义及标准方程，因此学习本节课的内容，是对前面已经学习的圆锥曲线内容的复习与延续，可以帮助学生进一步了解曲线与方程的对应关系，也可以再次体验数形结合的数学思想在数学学习中的应用，同时，熟悉坐标法在解决几何问题时的应用，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象素养。

活动1梳理知识、提出问题：

前面我们研究了平面上到两个定点的距离的和或差是一个常数的动点的轨迹问题。

问题1：我们还研究过哪些类似的问题呢？

学生活动：回顾总结我们研究过点的轨迹问题，并进行梳理.

教师活动：引导学生进行梳理。

问题2：你还能提出哪些类似的问题？

明确本节课研究的问题：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹，其方程是什么？

[设计意图]：从数学角度引入，帮学生回顾研究过的点的轨迹问题，希望学生讲过的内容串成线，连成片，从系统的角度认识数学知识。梳理时关注研究对象和动点特征，有利于激发学生的进一步的思考，培养学生发现问题和提出问题的能力。

活动2 问题探究、关注本质

问题3 请大家在平面上画一个点F和一条定直线l（F∉l），你能画出找到与点F和定直线l（F∉l）距离相等的点的轨迹吗？

我们选择四种特殊的位置关系来研究，即点在水平直线的上、下，点在垂直直线的左、右.

学生活动：按照上面四种图形，把学生分成四组，可以利用图形计算器进行自主探究，小组交流合作，分组展示不同的作法及作图的依据。

方案1：学生手画，很容易找到第一个点，但其他点就不好操作了。

方案2：利用到双轨迹，找交点法，用图形计算器做图，如图：

方案3：将和点的距离转化为到直线的距离.即：在直线l（F∉l）上任取一点A，做AF的垂直平分线l1，过点A做直线垂直于l1，交l1于点B，追踪点B的轨迹。

教师点评： 法1的同学能找到一个点，其他点不好找的情况下联系我们已有经验;法2的同学想到了做椭圆和双曲线的同心圆法，分别找到与定点和定直线的距离为定值的点的轨迹，然后找两轨迹的交点即可;法3的同学联系了到两点的距离相等的点的轨迹，巧妙地利用了转化.同时，我们也得到了四种开口方向不同的抛物线。

活动3：合理建系 探究方程

问题4 如图，假设焦点F到准线l的距离为p（p>0）， 你能选择适当的坐标系，求出抛物线的方程吗？学生活动：先建系，再求方程，然后小组内讨论建系与方程的关系

学生建系方案：

由于前面的椭圆，双曲线的体验，学生很容易推导出抛物线的方程.设计意图：推导抛物线方程是学生体会不同建系方法对方程的影响的最好例子，因此，一定让学生体会一下.

问题5 选择哪种方案建系，得到标准方程呢？

学生讨论：从方程的形式的简洁，建系的对称性等方面思考问题，从而确定抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）。

三、课例教学反思

《抛物线的标准方程》是在学生学习了椭圆、双曲线之后进行的最后一种圆锥曲线的学習。因此在教学中我始终类比学习椭圆、双曲线的方法，让学生在自己的认知基础之上进行自我知识建构。

1.在梳理原有知识体系的基础上，发现问题和提出问题。

《普通高中数学课程标准》在课程目标中指出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习和未来发展所必须的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力 （简称“四基”）。因此，在本节课的第一环节-梳理知识、提出问题中，我首先让学生梳理学过的轨迹问题，使学生对于这些轨迹有一个系统地把握，在梳理的过程中，引导学生发现问题，并提出新的问题，从而引入本节课的课题。同时这些轨迹的形成对于新轨迹的探究有很大帮助，能进行合理转化。

2.借助图形计算器进行探究数学活动，加强学生对数学的理解。

本节课中，设计了两次探究活动。

探究一、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹。

在这个探究活动中，学生首先明确与直线的位置关系，先研究什么样的直线，因此确定四种位置关系，为后面的探究方程提供方便。接着要思考：如何保证动点到顶点与定直线的距离相等。由于有了椭圆和双曲线的体验，大部分学生会想到：先分别找到与定点和定直线距离为同一定值的点的轨迹，然后找到两个轨迹的交点，描出这些交点的轨迹极为所求。一部分学生会想到转化，因为到两个定点的距离相等的点是连接这两点的线段的垂直平分线，于是，将所求轨迹转化为：直线上任意点与定点的构成的线段的垂直平分线与过这一点且与定直线垂直的直线的交点的轨迹，这是将新的轨迹为转为原有的轨迹问题来解决。在探究轨迹的过程中，学生首先要理解数学问题，然后依据已有经验，解决新的问题。

探究二、抛物线的标准方程。

在这个探究活动中，学生将真正体验建立不同的坐标系，得到不同形式的方程的过程。我把它分为两段，先建系，再推导，并且体验不同的建系方法，得到不同形式的方程。学生通常会想到三种建系方式，得到三种形式的方程。在求抛物线的方程时，通过比较，感受标准方程的简洁、对称、和谐之美。

两个探究活动，都注重学生的数学理解，对数学问题的分析，并且基于学生的已有经验，进行问题解决。这样的探究活动，也关注了学生数学抽象，逻辑推理，直观想象等数学核心素养的的发展。