浅谈实变函数论中关于集合论的教学

黄穗

摘 要：集合论作为现代数学的基石，在几乎所有数学领域都有其身影。实变函数论在本科数学专业中对集合论的研究最为详细，尤其是对集合基数的讨论是其他专业课程没有涉及的。正是在此问题中，我们看到了集合最本质但是又与我们直觉最相悖的性质结果，从而凸显出数学学科的抽象性与逻辑性。

关键词：实变函数;集合;基数

中圖分类号：G642.3;O174 文献标识码：A 收稿日期：2019-04-02 文章编号：1674-120X（2019）20-0107-02

集合论作为现代数学的基石，已经渗透到数学的所有领域。集合论主要研究的是集合的结构、运算及性质。从Cantor在19 世纪七八十年代首先创立集合论后，经过一百年的发展，其理论越来越完善，越来越严密。

一、集合论的表示

实变函数作为分析数学的一个分支，仍然研究的是函数的三大分析性质，包括函数的连续性、可微性、可积性。在学习集合的表示中，我们会发现这并不是一个基本而简单的问题。通过集合可以刻画函数的有界性、极限的存在性、连续性。

在实变函数中，将集合的运算从有限个集合推广到无限个集合、任意个集合，其结果发生了质的改变。

单调递增的闭区间列的并集变成了一个开区间，而单调递减的开区间列的交集变成了一个开区间。类似于数列的上、下极限，集合论中引入了集合列的上、下极限，进一步定义了集合列的极限，并且得到了与单调有界数列有极限类似的结果：单调集合列有极限。

例3 ： 如果是一列单调递增的集合列，则。而可以看作是的“上确界”，也就是包含每个集合An的最小集合。

如果是一列单调递增的集合列，则。而可以看作是的“下确界”，也就是包含在每个集合的最大集合。

这个结论是集合测度论的重要基础之一。

二、集合基数

在对集合性质的研究过程中，我们必须回答其中最为根本的问题：集合元素的个数。从有限集元素的个数到无限集的基数的比较，使学生对数的认识既是一个颠覆又是一个飞跃。在关于无限集基数的讨论中，会发现存在着与其基数相等的真子集。这种情况在有限集的情形下绝不可能发生，而这正是有限集与无限集最本质的区别。自然数集与偶数集、奇数集的基数相同，那么意味着在偶数集中加入无限多个奇数后并没有改变集合中元素的个数。这对学生的理解来说是一种冲击，同时也意味着将有限数的加法推广到无穷大的加法中，完全可能出现两个相同的无穷大相加得到的仍是同一个无穷大。另外还有一个典型的例子：任何一个半圆周上的点与其直径上的点个数一样。而几何知识告诉我们：两点距离直线段最短。上例中半圆周的长度显然大于直径。那么综上两个结果，我们可以得到一个结论：曲线的长度与其上点的个数没有必然的关系。这与我们的直觉相悖。我们的直观感知会告诉我们：曲线的点越多，长度越长，反之亦然。

例4： 孤立点集的勒贝格测度为零。

由这个结论可知，自然数集、整数集合、有理数点集这些经典的可数集的测度为零，那么利用勒贝格测度的可加性可得，无理数集的测度跟整个实数集的测度相同。

例5： Cantor三分集的勒贝格测度为零。

Cantor三分集是一个完备集（无孤立点的闭集），是一个不可数集。通过其经典构造，我们可以证明这是一个不可数集，但是其测度仍然为零。

例6：  区间[a，b]的勒贝格测度为b-a。

区间[a，b]是一个不可数集，其勒贝格测度与区间的长度相同。

由以上两个例题，我们会发现集合的基数与集合的长度是两个不同的问题，其间没有必然的联系。

三、集合论发展历史

关于有限集基数，其性质是显而易见的，包括其子集的有限性。但是如何确定无限集的基数，用何种方式确定，这是一个问题。对无限集而言，其基数都是无穷大。对无穷大的研究讨论直到20世纪四五十年代都充满了争议。在微积分建立并发展的两百多年里，涉及无穷大的运算时，数学家们都慎之又慎。关于无限集的研究，必然无法回避一个问题：两个无限集的基数如何比较？这实际上是一个非常复杂的问题，与数的结构有关。Cantor在建立朴素集合论时，就着眼于对无穷大的研究。他证明了实数的基数严格大于有理数的基数，这意味着实数中的无理数远远多于有理数，同样的超越数也远远多于代数数。而在当时，人们只能写出两个代数数和。

虽然Cantor在研究过程中取得了众多成果，但是在1900年左右，由数理逻辑学家罗素提出了著名的“理发师悖论”：如果在一个村子里，我们规定理发师只能给不会理发的人理发，那么请问谁来给理发师理发？我们来分析这个问题。如果把所有的人分为两类：会理发的人即理发师、不会理发的人。按照问题的题设，理发师显然不能给理发师理发，剩下的不会理发的人也不能给理发师理发。如果用集合的语言，我们将此问题刻画为：

例7：设，请问：中哪种关系成立？

分析：如果设S∈S，按照S的定义，，矛盾。如果设，按照S的定义，S∈S，也矛盾。因此以上问题无解。

这个悖论揭示了集合论中关于集合的描述和元素与集合的属于关系的刻画存在着问题（自属集与非自属集）。这个漏洞使严密的数学陷入了自相矛盾之中，数学迎来了第三次危机。众多数学家投入解决此问题的研究中。策梅罗（Zermelo）在1908年提出了公理化集合论。弗兰克尔（Fraenkel）在策梅罗的基础上，对公理化集合论加以完善和补充，严格化了Cantor建立的朴素集合论，改进成我们现在使用的集合论——ZF公理系统（此系统实际上受到结构主义逻辑学家的反对）。ZF公理系统包含了包括著名的选择公理在内的9个公理，首先对集合的表示进行了严格要求，不能使用悖论中的集合表示。

Cantor以自然数集为参照系（究其原因是我们在计数的过程中，自然而然将自然数集与计数的事物作了一个一对一的映射），定义了可数集，得到一个基本结论：无限集中可数集的基数最小，进一步讨论了可数集的各种运算性质。如果设可数集的基数为a，则我们证明了na=a，an=a等结果，这与有限数的运算截然不同。在可数集的基础上定义了不可数集，实数集、区间等均是不可数集。如果从集合基数的角度出发，我们看到无穷大是不一样大的。相比之前在数学分析、复分析中规定的关于无穷大的运算，这使得利用集合的基数来刻画的关于无穷的计算更具有直观性，其逻辑推理也更严密。其中最为典型的例子是可数集的基数绝对小于不可数集的基数。这说明无穷大的大小比较与有限数的比较一样，也就是说有且仅有大于、等于、小于中的一种关系。那么如何比较两个无限集的基数大小呢？为解决这类问题，我们定义了集合的对等关系，建立集合与集合之间的一一对应关系。直观的解释就是“一个萝卜一个坑”，那么我们即使不知道“萝卜”与“坑”的个数，也能推导出两者的个数相同。从两个集合对等的关系出发，如果对等，则基数相等;如不对等，则基数不等。然而要证明两个集合对等，按照对等的定义需要作两个集合之间的一个一一映射，这显然不是一件容易的事，技巧性非常高。

例8： 证明长度为1的区间与整条直线的基数是相同的。

另一个经典的例题是通过投影将球面去掉一点后，剩下的点所成的集合与整个平面对等。以上两个例题中关于映射的构造相对简单，仅用基本初等函数就能得到。这两个例题实际上是有悖于我们的直觉的。直线上的一小段直线段所包含的点竟然与整条直线上的点是一样多的。但是在公理系统的假设之下，通过严格的逻辑推导，其结果正如我们看到的，集合基数的大小与集合的大小也没有必然的大小关系。

关于不可数集还有一个重要结论：没有基数最大的集合。也就是说我们总是可以根据任何一个集合M，构造出其幂集，其基数严格大于，这也说明没有最大的无穷大，只有更大的无穷大。

四、集合论

实变函数关于集合论的研究中，除了从元素个数讨论了集合的基本性质，还从集合中点与点的关系、点与集合的关系讨论了集合的结构。首先我们将欧氏距离抽象成一般的度量， 从而在集合上添加度量结构，使其成为一般的度量空间。集合上有了度量以后，我们就可以类比欧式空间，由度量诱导出点的邻域、点列的收敛、集合的有界性等概念。在这些概念的基础上，按照点与点、点与集合的关系，将集合中的点进行分类，再根据集合中点的类型将开区间、闭区间的定义推广成开集、闭集，讨论它们的运算性质，并得到了直线上开、闭集的结构。

五、结语

综上所述，在集合论的教学中，会涉及在数学分析中已经学习过的关于点集的基本性质及极限的理论及其思想方法，因此我们既要注重与已有的知识相结合，又需要在讨论过程中进行严密的推导。让学生既感受到数学逻辑与抽象的美，又能够接受新的知识、新的方法以及新的技巧，从中看到数学学科的发展进程。

参考文献：

[1]周民强.实变函数论[M].北京：北京大学出版社，2008.

[2]夏道行.实变函数论与泛函分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.