基于混合整数规划的弹性配电网灾后修复计划

邹 波，戴 攀，王 蕾，叶承晋，王冠中

（1.国网浙江省电力有限公司经济技术研究院，杭州 310008；2.浙江大学 电气工程学院，杭州 310027）

0 引言

极端自然灾害易造成配电网严重损坏，导致居民、工商业用电长期中断。近年来，电力系统遭受的自然灾害主要包括台风、冰雹等气象灾害以及地震等地质灾害。各类自然灾害均造成了配电网络的严重故障，带来了巨大的社会经济损失。随着电力中断的持续，经济社会损失也呈指数级增长，因此，在自然灾害发生后，及时合理地安排检修工作，尽快恢复配电网中关键负荷供电，具有显著的社会经济价值。

为强化配电网抵御自然灾害的能力，一些学者从网架规划出发，建立抗灾评估指标，并以强化最优骨干网架等方式加强配电网元件和系统的抗灾能力[1-3]。也有学者从调度角度出发，优化配置配电网线路的输电能力，使自然灾害引起的线路故障对供电区域的影响最小[4]。针对更加严重的自然灾害所产生的大范围、复杂连锁配电网故障，学者们提出了配电网弹性概念[5-8]，强调配电网应具有在大范围自然灾害后迅速恢复供电的能力。文献[5]通过配置储能提高配电网故障后孤岛划分的可靠性。文献[6-7]研究了气象灾害与配电网线路故障之间的关系，采用多场景和概率分析的方法，研究了配电网在多种大范围自然灾害下的弹性表现，并提出强化措施。

然而，上述研究仅考虑自然灾害发生之前的配电网规划和运行阶段，只以提高配电网弹性指标来预防自然灾害，忽视了故障后的供电恢复和检修计划所具有的社会经济效益。故障后供电恢复的前提是完成对配电网中受损线路的修复，而传统配电网检修计划大多考虑的是非灾害场景[9]，对于自然灾害造成的大面积故障研究较少。

考虑自然灾害造成的配电网大范围故障，本文提出了辐射状配电网灾后修复计划优化方法以缩短负荷中断时间。首先，分析了配电网弹性指标与停电损失之间的关系；其次，以停电损失最小化为目标函数，并采用软优先级约束建立配电网恢复供电修复计划的混合整数规划模型；最后，通过算例分析验证所提方法的有效性。

1 配电网弹性的定义与量化

配电网弹性要求配电网具有适应自然灾害的功能，具体体现在预防、坚强、充裕和恢复等四个方面。其中，充裕指的是人力资源，如检修工作组充足；预防指的是规划阶段；坚强性和可恢复能力均指运行阶段。

在具体工程领域，配电网弹性可由灾害后的运行轨迹Q（t）来形象说明（见图1）[10]，图中，纵坐标代表灾害后配电网供电能力百分比，横坐标代表时间。Q（t）为图1 中的虚线，代表灾害后随着修复计划的进行，配电网供电能力也在慢慢恢复；实线代表故障前的供电能力，并用任意时刻t均满足Q0（t）=1来表示。配电网的坚强性，又称鲁棒性，可以用灾害到来时的供电能力Q（0）来表示，Q（0）越大，代表配电网越坚强。配电网恢复能力可以用Q（t）在时间段[0，T]上的积分表示，该积分值越大，代表灾害后的供电恢复规模越大，恢复能力越强。在本文中，由于研究对象为灾害后的配电网修复计划，因此采用表征恢复效率的指标R 来表示配电网弹性，具体定义如式（1）所示：

不直接去求指标R 的最大值，选择其他指标也可以量化配电网修复的弹性，如：

图1 灾害后运行轨迹

式（2）也可以作为配电网修复的弹性指标，该指标代表了灾害发生后T 时间段内，配电网损失供电能力的危害。配电网损失供电能力的危害也可以由负荷侧进行表述，即：

式中：n 表示节点编号；ωn代表节点n 上负荷的重要度指标；Tn代表修复时间。据此，下文构建的配电网修复计划的目标函数为最小化式（3），代表着最大化配电网弹性。

2 配电网模型

2.1 配电网模型

配电网的拓扑结构对灾害后的修复过程产生直接影响。配电网拓扑可以用图论中的图进行表述，记为图G；配电网节点集合用N 表示；边集合用L 表示。由于配电网大多时间开环运行，本文假设配电网满足辐射状拓扑结构。S⊆N 代表配电网中的电源节点，D=N/S 代表负荷节点，LD代表故障线路，LI=L/LD代表非故障线路。每条故障线路l∈LD，均有修复时间pl 与其对应。 如果1条线路出现故障，该线路下游的所有负荷将失去供电。此外，还假设每个修复工作组单独对某条故障线路进行作业，且在一个单位时间内，修复工作组人员的位置移动花费时间很少，相比于修复工作时间可以忽略。

2.2 软优先级约束

以IEEE 13 节点配电系统模型说明灾后修复计划以及拓扑中的软优先级约束。IEEE 13 节点配电系统模型如图2（a）所示，假设故障前联络开关闭合，灾害发生后，线路650-632，632-645，671-692，684-611 均出现故障导致供电中断，此时安排修复计划需要考虑受损线路之间的分层关系。从图2（b）中可以发现，如果线路650-632 不被首先修复，则其余几条故障线路的供电恢复速度都会被拖累；同时，若线路650-632 已经修复，则其余3 条故障线路之间不存在明确的优先级顺序，因为这3 条线路均为650-632 下面的分支，彼此互不影响，这导致调度计划模型中常用的优先级约束不再适用。在本文中，故障线路之间存在的分层关系被定义为软优先级约束，区别于优先级约束中不同对象间明确的前后关系，软优先级约束仅表达了不同对象间简单的分层结构，同一个层次内部的具体对象之间无法直接判断其优先级。

图2 IEEE 13 节点配电系统

接下来从图论的角度描述软优先级约束。节点n 恢复供电所需要的时间用En表示，完成线路l 恢复需要的时间用Cl表示（前文中的pl 仅代表修复1 条线路用的时间，而完成线路l 恢复的前提是所有软优先级高于l 的线路均已被修复）。线路l 的首节点用h（l）表示，尾节点t（l）用表示，功率由h（l）流向t（l），显然，El=Et（l），据此建立节点和线路恢复供电时间之间的关系。类似地，节点t（l）的负荷重要度ωt（l）也等价于线路l 的重要度ωt。

软优先级约束借助图论中的元素可表示为i≤sj，代表线路j 无法在线路i 供电之前得到供电； 还可以用恢复供电所花费的时间来表示，Ej≥Ei。对于任意一种可行的配电网灾后修复计划，需满足如下条件[11-13]：

3 基于混合整数规划的灾后修复计划

假设每条线路的故障修复时间均为整数，则配电网灾后修复计划可以用混合整数规划模型来描述。首先定义基于时间的整数变量和其中代表t 时刻线路l 被一个检修工作小组修复中；代表t-1 时刻线路的修复工作已经完成，t 时刻时线路l 已恢复供电；代表t 时刻时节点i 已恢复供电。总时间T 不能提前确定，但可以给定一个较大的数值，且不影响优化结果。令并将其代入式（3），则本文所提优化模型的目标函数如式（5）所示：

该优化模型包括检修约束和网络流约束两方面。

3.1 检修约束

检修约束用来描述检修工作小组人员的行为顺序和对故障线路以及负荷供电状态的影响。下面3 条约束用来初始化前文中的整数变量和

其中，式（6）代表灾后故障线路初始化状态，式（7）代表灾后非故障线路状态始终正常，式（8）代表电源节点状态始终正常。

假设检修工作小组的数量为m，则每个时刻被检修的线路总数不能超过m，即：

由于每条线路的修复速度不同，1 条线路完成修复需要的时间为pl，在维修状态累积不超过pl 时线路l 无法恢复供电，所以有如下约束：

3.2 网络流约束

假设灾后恢复过程中，配电网线路潮流、节点电压均能满足安全运行约束，那么配电网的潮流约束可以用标准网络流约束进行简化。

在上述约束条件共同作用下，可保证软优先级约束得到满足[11]。

4 算例分析

采用图2 中的IEEE 13 节点配电系统进行算例分析。其中，线路数据见表1，节点负荷重要度采用0-1 之间的随机数进行模拟，对于其中的关键节点，其重要度设置为5，本算例中节点645 和684 为关键节点。此外，检修工作小组数量设置为2 个，总时刻数T 为33。模型采用MATLAB平台的yalmip 工具箱求解，求解器为Cplex。

表1 线路数据

当T=33 时，最后时刻整个配电网中全部负荷均恢复供电，此时目标函数结果为152.376 5，计算时间3.14 s。恢复供电过程中，配电网弹性指标（即目标函数值）随时间变化趋势如图3 所示，可见，0-10 h 配电网弹性指标上升速度最快，从20 h 开始弹性指标渐渐趋于平稳。指标增速反映了灾后中止供电带来的负荷损失量，指标的增长速度随时间逐步变慢，说明随着更多的线路得到修复，配电网的负荷损失逐步减少，当指标平稳后，配电网恢复供电，不存在负荷损失情况。图3中算例计算出的运行轨迹与图1 分析结果一致，即负荷损失累积量与配电网供电恢复程度在变化趋势上具有一致性，说明所提出的基于混合整数规划的配电网灾后修复计划优化模型准确有效。此外，从计算效率上看，所提优化模型具有较高的计算效率，同样适用于弹性配电网以其他目标函数最小化为目的的修复计划。

图3 弹性指标随时间变化情况

此外，观察变量，第一批恢复供电的线路为650-632 和632-645，第二批为632-671 和671-684，其余不再赘述。 从前两批恢复供电的线路看，该恢复过程满足软优先级约束，且优先恢复了重要度权重最大的负荷节点，证明所提方法现实有效。

5 结语

提出了弹性配电网灾后修复计划的混合整数规划模型，模型以中断供电损失最小化为目标函数，通过修复计划逻辑约束和线路潮流约束共同作用，保证了修复过程中的软优先级约束。算例结果表明，所提优化模型能够准确计算出配电网灾后恢复过程中弹性指标随时间提升的效果，所得恢复过程能够满足软优先级约束，且具有较高的计算效率。该方法同样适用于其他目标函数的配电网灾后修复计划。