工程教育认证背景下离散数学课程体系的实施

夏红科

（北京信息科技大学 计算机学院，北京 100101）

0 引 言

《华盛顿协议》是通过多边认可工程教育认证结果工程教育学位互认协议，它实现了不同国家之间工程学位互认，促进工程技术人员国际流动。中国是《华盛顿协议》的第18个正式成员，能全面参与《华盛顿协议》中各项规则的制定，同时我国工程教育认证的结果将得到其他成员国认可，通过认证专业的毕业生将享有在其他国家同当地毕业生同等待遇。开展工程认证能推进我国工程教育改革，进一步提高工程教育的质量，构建工程教育与企业界之间的联系机制，增强工程教育人才培养对产业发展的适应性，并提升国际竞争力。

核心的工程教育认证理念即OBE（outcomebased education，基于产出的教育）理念[1]，它以学生为本，将其作为学校或专业首要的服务对象。认证的全部标准聚焦于学生，在课程安排、资源配置、学生服务等方面都进行了较明确且具体的规定；用人单位和学生对学校或专业所提供服务的满意度是通过认证的重要指标。

1 产出导向的人才培养体系构建

产出导向的人才培养体系是以学生毕业后5年的水平为导向和培养目标，将工程认证理念贯穿整个本科阶段学生的培养过程中，从而构建人才培养体系，它从培养目标出发，通过确立毕业要求，构建由教学计划、教学过程、考核评价组成的课程体系并实施，从而达到预期的目标，如图1所示。

图1 产出导向的培养体系

整个培养体系以毕业要求为依据，综合评价学生培养的质量。在整个课程体系中，教学计划形成对毕业要求的支撑，教学过程实现对毕业要求的支撑，考核评价证明对毕业要求的支撑。整个过程强调合格评价与质量持续改进，在实施的过程中形成闭环，通过持续性改进不断实现对毕业要求的支持。

工程教育的培养目标是学生在毕业后5年具有注册工程师的水平，对应到网络工程专业就是10条毕业要求，并继续细化成37个具体的指标点，明确了这个产出目标后，就需要形成课程支持。以培养目标为指导开展教学，包括培养方案设置、毕业要求设置、课程体系支持等各个环节，以持续不断地落实和改进。

在以产出为导向的培养体系中，每门课程的教学过程不能再像以前一样，基于本课程的知识点进行教学和考核，而是要在工程教育的培养目标下，针对本专业的培养目标和毕业要求，系统组织课程体系。离散数学课程也是如此，它是计算机专业（包括网络工程专业）基础理论的核心课程之一，它以研究离散量的结构和它们之间的相互关系为主要目标，充分描述了计算机科学的离散性特点。现代计算机科学中普遍采用离散数学中的一些基本概念、基本思想和基本方法，离散数学正成为了解、学习、掌握和发展计算机科学必需的理论工具。

2 离散数学教学计划

工程教育认证下的教学计划，除了明确课程目标和教学内容，还需要体现课程目标与毕业要求之间的对应关系及具体的课程目标达成措施，这些均在教学大纲中明确出来。

依据网络工程专业的毕业要求，离散数学课程的课程目标为：①能够将离散数学的基础知识与方法用于复杂工程问题的算法分析与设计、软件开发与实现；②能够将离散数学的基础原理用于复杂网络工程问题的识别与表达，以获得有效结论。

这些课程目标与网络工程专业毕业要求之间的对应关系为：

课程目标①对应毕业要求2：工程知识：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂网络工程问题。

课程目标②对应毕业要求3：能够应用数学、自然科学和工程科学的基础原理，进行复杂网络工程问题的识别、表达，并在必要时借助文献查找与研读，获得有效的信息或结论。通过文献研究分析复杂网络工程问题。

离散数学的课程目标对应毕业要求的达成途径是通过课前的自主学习、课堂讲授与研讨、课后总结与练习等环节共同支撑，主要依据期末理论考试、单元测试、课后作业来评价。

具体的课程目标达成措施包括3方面。

作业：在课后布置与课程知识点相关的习题并全部批改，计入平时成绩。

课堂测验：根据课程讲解需要并及时了解学生的掌握情况，不固定时间随堂测验，以提问和题目练习为主并记录，以此反映学生的知识掌握情况，计入平时成绩。

期末考试：内容涉及课程的基本理论和基本分析、设计方法，并重点突出，题型包括选择题、判断题、简答题、计算题、证明题等。

3 离散数学教学过程

确定离散数学课程的课程目标及与毕业要求之间的对应关系后，在实际的教学过程中，除了体现相应的课程内容，还需要将网络工程专业的毕业要求具体落实。离散数学课程的理论点多，内容丰富，不同的知识点彼此独立但又有机结合。在有限的课时内完成课程内容，还尽可能地达到锻炼能力的目的，教学过程需要从教学内容、教学方法、教学手段上进行精心组织。

3.1 教学内容

离散数学课程的教学内容多，对计算思维的训练、后继课程的学习都有着重要而深远的影响，但是受限于课时，不能覆盖全面，只能选取与后继课程联系紧密，可以培养学生逻辑思维和抽象思维以及分析、解决问题能力的内容。基于上述考虑，离散数学课程的教学内容分为3个部分[2]：数理逻辑部分、集合与关系部分与图论部分，共计48课时，其中数理逻辑侧重于推理，在程序理论、人工智能等方面有重要应用；集合与关系的相关内容与数据库等课程结合紧密；图论在数据结构、算法设计与分析课程中应用广泛。

3.2 教学方法

离散数学不单单是一门数学课程，而且是计算机类的核心基础课程。由于离散数学在计算机科学中的特殊作用，实际的教学过程中，不能将其单纯当做一门数学课程。只强调数学性，重视数学公式的介绍和演绎推理，容易使学生感到枯燥，认为与计算机没有什么关联，从而失去学习的兴趣；也不能过于重视它在计算机中的应用，不介绍具体的数学建模及推理过程，而忽视了对数学思维的培养。因此，在实际的教学中，需要根据教学内容适当调整，进行合理搭配[3]，如图论部分先介绍通用的图，然后是树，最后是几类特殊的图。通用的图论部分说明了图的相关定义和定理，其中握手定理是最重要的定理之一，在后继的树和特殊图中会反复用到。需要重点介绍握手定理的证明，带领学生了解证明的思路在于图上的点和边之间的关联，并尝试用数量关系表示，这种证明思路在树的证明中也会用到。在特殊图的介绍中，欧拉图、哈密顿图、二分图都有着实际的应用，在介绍时多结合具体应用点进行说明，并结合实际的例子，如“旅行家问题”“四色问题”等。

对于教学内容中有共性的点，可以运用类比的方法强化共同点，并对不同之处加以区分[4]，如数理逻辑这一部分内容包括命题逻辑和谓词逻辑，在内容的组织上都是先介绍个体的逻辑表达形式，然后是合式及公式，最后是证明。这两部分内容基本是平行的，在讲授过程中，介绍完命题逻辑，引入谓词逻辑时，就要对谓词逻辑和命题逻辑进行区分，谓词逻辑研究的是特定的简单或复杂命题，判断特定命题的真值，或进行证明；而命题逻辑是使用谓词表示一类命题，在此基础之上判断谓词的真值、进行证明。从思路上来讲，是一种从特殊到一般的关系。因此，命题逻辑和谓词逻辑既有区别，又有联系，命题逻辑使用的合式公式在谓词逻辑中也使用，而在谓词逻辑证明的过程中，也会根据需要在谓词逻辑中的特殊个体与全体之间转换，并应用相关的公式。这种类别教学的方法有助于提高学生的思维能力，并且以一种更生动的形式引入新的知识。

由于课时有限，在教学内容中无法展开的内容，如Warshall 算法求出传递闭包、哈夫曼树的构建、用Dijkstra算法在图中求最短路径，可以布置成课外作业，要求学生结合编程语言加以实现，从而加深离散数学相关知识的理解，并提高分析问题、解决问题的能力，为后继数据结构、数据库等课程的学习奠定基础。

3.3 教学手段

教学中充分利用现代化教学手段，将板书和多媒体有机结合。离散数学课程中的定义、公式、定理繁多，板书会占据大量的教学时间，不利于关键知识的展开，用多媒体的方法展示出来，能节省时间，有效展示，并能生动形象地表示具体的内容，激发学生的兴趣；对于理论性强，需要训练数学思维的部分，利用相关定理、推论的证明，用多媒体幻灯片的方式则不合适，不利于思路的展开，应该由教师通过板书，带领学生逐步进行证明，这样有助于培养学生的逻辑思维能力和推理能力。在实际的教学中充分利用多种教学手段，能各自发挥不同教学方式所长，从而提高课堂质量和效率。

4 离散数学考核评价

在教学过程中，采用作业、课堂测验、期末考试的形式进行考核，学习结束时，需要对整个教学过程进行评价，这里并不是简单的分析考试试卷，填写试卷分析，而是采用相关的分析方法进行评价，包括课程考核过程分析法和修课学生调查问卷法，强调过程分析和学生反馈，并将评价结果应用到后继的教学，持续改进。对于离散数学课程，除了在课程大纲中设置课程目标，并与毕业要求指标点形成对应矩阵之外，同时设置课程目标点与考核方式、分值的对应矩阵，将此对应矩阵应用到具体的考核评价中。

1）课程考核过程分析法。

在离散数学课程结束时（包括考试），由任课教师对本教学班上所有修完该课程的学生，根据离散数学教学大纲的设计，以各教学环节的考核材料（含教学大纲、期末考试、日常考勤等）、成绩单为基本依据，逐一计算课程目标达成度，从主要教学环节及其产出角度了解课程教学成效，并作为教学改进的依据。

2）修课学生调查问卷法。

在离散数学课程结束时，通过调查问卷，了解学生自评对课程目标的掌握情况。针对每个课程目标，进行6级等级评价（E=极好，G=好，A=一般，P=较差，U=不符合，NA=不适用），并分别赋予0～5分的分值。对于课程目标达成度，首先计算每个课程目标点的达成度，然后再计算课程目标的总体达成度。从学生体验与收获角度了解课程教学成效，并作为教学改进的依据。

5 结 语

工程教育认证是一种合格性评价，它以学生为中心，以结果为导向，强调持续改进。以工程教育认证要求进行离散数学教学的过程中，北京信息科技大学的网络工程专业在进行工程教育认证的过程中，经过4年的实践和不断调整，取得了较好的效果，在学生的就业分布、毕业后学生的回校访谈、麦克斯专业调研中均反馈良好，并有毕业生通过了工程教育认证。