一阶常微分方程初值问题的数值解法

支越

(中国传媒大学信息科学与技术学部，北京 100024)

1 引言

基于上述假设，根据常微分方程的理论，可知初值问题在区间[t0，T]上有唯一的连续可微的解u(t)。

2 数值方法求解实例

2.1 解析解

解析解(准确解)：u=-e-t+t2-t+1。

2.2 欧拉法

欧拉法公式：un+1=un+hf(tn，un)。

2.3 梯形法

2.4 改进欧拉法

2.5 RK法

其中Wi，αi，βij均为待定系数，实际计算时，用un代替u(tn)，上述公式称为s级RK方法。

2.6 Adams法

Adams方法是一种线性多步法。

Adams四阶预测—校正格式(PECE)，这是一个四步方法，计算un+4时要用到un+3，un+2，un+1，un，因此它不是自开始的，一般需要四阶RK法为其提供出发值：u1，u2，u3。(p为阶数，p=4)

Efn+4=f(tn+4，un+4)

3 实例的各类数值解法比较

利用VC++6.0，运行各类数值解的C语言程序，求解本文中的实例，求解区间[0，1]，步长h=0.1，结果如表1所示。

表1 数值解法

图1 欧拉法 图2 欧拉法与改进欧拉法

图3 四阶经典RK法 图4 Adams四阶预测-校正格式

从以上图1-4可以观察出，欧拉法的数值解与解析解相差较大，用梯形法和改进欧拉法求得的数值解优于欧拉法，但弱于四阶经典RK法和Adams四阶预测—校正法，RK法和Adams法的数值解非常接近解析解。

4 结论

欧拉法用均差代替导数进行计算，微分方程的解u=u(t)称作它的积分曲线。从几何上来解释欧拉法，欧拉法做出的折线PnPn+1是落在积分曲线u=u(t)上的顶点Pn的切线，顶点Pn+1明显的偏离了积分曲线u=u(t)，可见欧拉法是粗糙的，用欧拉法求出的数值解与解析解相比较，误差较大。

梯形法用迭代法求解，欧拉法为其提供迭代初值，但是迭代反复，计算量大。改进欧拉法简化了算法，明显改善了精度。

四阶经典RK法是RK法中常用的数值解法。关于Adams四阶预测—校正格式，一般需要四阶经典RK法为其提供初值，编程代码相较于前面的方法，计算量明显增多，但精度更高，数值解很接近解析解。