基于小波降噪和最小二乘的加速度计参数辨识*

董雅雯， 王建林， 魏青轩， 邱科鹏， 赵利强

(北京化工大学 信息科学与技术学院，北京 100029)

0 引 言

加速度计是用于测量载体运动加速度的传感器,被广泛应用于航空航天、建筑、工业自动化等领域。其动态特性直接影响着装置或系统的整体性能。加速度计动态模型参数辨识是加速度计动态特性研究的主要内容之一。然而,受测量噪声的影响,直接利用测量的加速度计信号进行加速度计动态模型参数辨识精度较低,误差较大。有效滤除加速度计信号中的噪声,对提高加速度计动态模型参数辨识精度有重要作用。

冲击激励法是获取加速度计动态模型的常用方法,主要包括绝对法和比较法,其中,绝对法需要测得冲击激励信号[1,2],对实验条件和环境要求较高。加速度计比较法冲击激励校准[3]是获取加速度计动态模型的常用实验方法,但由于冲击激励具有持续时间短、频率范围宽等特点,使得冲击加速度计信号降噪较为困难。

基于小波变换的信号降噪方法利用了小波变换[4]的良好的时频多分辨性特点[5～7],主要有模极大值降噪法[8]、尺度相关性降噪法[9]和阈值降噪法[10]等方法。阈值降噪法克服了模极大值降噪法和相关性降噪法的缺点,能够避免伪极值点的产生,更好保留原始信号的特征峰值点,且无需估计噪声统计特征,被广泛应用于信号降噪[11,12]。

加速度计动态模型的辨识方法主要分为参数时域辨识和参数频域辨识两大类。其中,参数时域辨识方法多以自回归模型及其衍生模型为基础,通过遗传算法[13]、人工神经网络[14]、机理建模[15]及最小二乘法等参数辨识法获得加速度计的动态模型参数。虽然直接利用加速度计的输入输出信号进行参数辨识的方法直接易懂,但是其在实现过程中,容易受到模型阶次和噪声等方面的干扰,并且相较于参数频域辨识方法,参数时域辨识的方法的计算量一般较大。参数频域辨识方法,都首先求得其频率响应,在利用最小二乘[16,17]法或与其联合的方法,对加速度计信号的频域的数据进行参数辨识。但直接使用最小二乘法时,很容易导致动态模型的参数误差较大,参数辨识精度产生严重偏差。

针对加速度计比较法冲击激励校准中,噪声对加速度计动态模型参数辨识精度的影响,提出一种基于小波降噪和最小二乘的加速度计动态模型频域参数辨识方法。

1 基于序列相关和小波变换的阈值降噪方法

在加速度计比较法冲击激励校准中,参考加速度计与被校加速度计的输出信号来自同一冲击激励,两个加速度计输出信号具有较高的相关性。对加速度计输出信号进行相同的小波分解,原信号被分解成不同频率段的小波系数,对应的小波系数,同样具有较高的相关性。由于噪声和有效信号之间以及噪声之间通常相关性非常小[18]。受噪声影响,对应小波系数的相关性将发生改变。当小波系数中含有用信号较多、噪声较少时,对应的小波系数的互相关性较强,互相关系数较大；反之,对应的小波系数的互相关性较弱,互相关系数较小。因此,可以根据对应的小波系数的相关性大小,来设置不同的阈值,提高加速度计信号的降噪效果。

改进小波阈值降噪方法其方法步骤如下：

其具体步骤如下：

1)对参考加速度计输出信号x1(t)、被校加速度计输出信号x2(t)根据式(1)分别进行n层离散小波变换,得到第j层的细节系数d1,j,d2,j(j=1,2,…,n)及近似系数a1,n,a2,n

2)根据式(2)计算两输出数据序列第i层对应的细节系数d1,j,d2,j(j=1,2,…,n)的互相关系数rj

3)根据固定阈值原则即式(3)计算出每层细节系数d1,j,d2,j的初始阈值T1,j,T2,j,根据式(4)得到新阈值Tn1,j,Tn2,j

(4)

4)根据式(5)到降噪后的小波系数。

5)将步骤(4)中阈值降噪后的参考加速度计和被校加速度计的输出序列的小波系数按照式(6)进行小波反变换,得到降噪后的加速度计输出信号

2 基于小波降噪和最小二乘的加速度计动态模型参数频域辨识

为了实现被校加速度计的动态模型参数辨识,首先利用降噪后的加速度计信号获得被校加速度计的频率响应函数,再根据其频率响应函数数据,利用最小二乘法,实现其动态模型的参数辨识。

2.1 加速度计频率响应函数估计

加速度计比较法冲击激励校准,实验系统结构如图1所示。两个加速度计输出的电荷信号经电荷放大器转换为电压信号,并被同步采集。根据已知参考加速度计二阶线性模型、参考加速度计及被校加速度计的输出信号,得出被校加速度计的频率响应函数估计。

已知参考加速度计二阶线性模型,其传递函数为Gr(s),频率响应估计函数为Gr(jω),被校加速度计的二阶线性模型参数未知,设其传递函数为Gc(s)及频率响应估计函数为Gc(jω),在加速度计比较法冲击激励校准中,冲击激励信号u(t)未知,其频域分布为U(jω)。在同一冲击激励作用下,参考加速度计输出信号为ar(t),被校加速度计输出信号为ac(t),将ar(t),ac(t)变换至频域,得到其频域分布Ar(jω),Ac(jω)。满足下式

由式(7)及式(8)得到被校加速度计的频率响应函数估计Gc(jω)为

2.2 加速度计动态模型参数辨识

设参考加速度计的动态二阶线性模型为

式中ρr,ωnr和δr均已知,同时,设被校加速度计的动态二阶线性模型为

式中ρr、ωnr和δc均未知。将式(10)、式(11)代入式(9)可得

(12)

分别令

fT(jω)=(1,2jω,-ω2)

(15)

则式(12)可化为

(17)

最小,式中,Re和Im分别为实部和虚部。代入最小二乘算子,分别为

HT=(Re(fT(ω1)),Re(fT(ω2)),…,Re(fT(ωL)),

Im(fT(ω1)),Im(fT(ω2)),…,Im(fT(ωL)))

(19)

式中L为频率响应函数长度。由式(16)、式(18)及式(19)得到μ的最小二乘估计为

(20)

在对被校加速度计的动态模型进行参数辨识的过程中,由于谐振频率附近能够明显包含加速度计二阶线性模型的信号特征,因此,选取谐振频率附近的频率段的频率响应函数数据进行参数辨识。

3 实验与分析

3.1 仿真实验

利用MATLAB软件仿真加速度计冲击激励与响应信号,其中,冲击激励信号通过四阶巴特沃斯滤波器产生,截止频率为10 kHz,采样频率为1 MHz,数据长度为5×104,设置仿真参考加速度计动态模型参数为δ1=0.006 3,ωn1=2.775×105rad/s和ρ1=3.457×1010,仿真被校参考加速度计动态模型参数为δ2=0.004 3,ωn2=1.644×105rad/s和ρ2=1.633×1010,分别对两个加速度计的输出信号加入信噪比为5,10,15,20 dB的高斯白噪声,得到含噪声的加速度计信号,其中仿真加速度计含噪输出信号如图1所示。

图1 仿真加速度计输入信号与含噪声加速度计输出信号波形

应用本方法对仿真参考加速度计和被校加速度计的输出信号进行降噪,权值系数α=0.5,并与传统的基于小波变换的阈值降噪方法进行对比,选取去噪效果较好的小波基函数‘db3’,对信号进行6层数分解。

由估计出的频率响应曲线与模型的频率响应曲线对比结果如图2所示。

图2 被校加速度计幅频响应

由图2可知,改进的小波阈值降噪方法可以有效降低谐振频率附近的噪声,使频率响应曲线更平滑,可为下一步的参数辨识提供更可靠的数据。

表1 仿真模型参数辨识结果

由表1可知,方法1产生的误差最大,参数辨识得到的模型严重失真,甚至产生了一个数量级的误差；方法2较方法1,参数辨识得到的模型的精度有了一定的提升,估计值与真值处于同一数量级,误差有了一定的减小；方法3较方法2有了一定的改善,尤其是ωn更加精确,但是δ及ρ距离真值仍有一定的误差。

3.2 加速度计比较法冲击激励校准

将本文方法应用于加速度计比较法冲击激励校准。该系统由冲击激励装置、参考加速度计(型号：271A01)、被校加速度计(型号：222A02)、电荷放大器及PCIe数据采集卡等组成。参考加速度计和被校加速度计通过背靠背方式固定,并内置于冲击激励装置的竖直圆管内,其上装有钢珠,利用钢珠下落,电荷放大器转换为电压信号,并以1 MHz的采样频率同步采集。

利用上述实验装置获取参考和被校加速度计输出信号,实验共重复10次。

为了验证本文方法的有效性,对仿真被校加速度计的动态模型进行参数辨识。设置对比方法：1)利用传统小波阈值降噪后得到的加速度计信号求得的频率响应函数谐振频率附近的频率段数据结合最小二乘法进行参数辨识；2)利用改进小波阈值降噪后得到的加速度计信号求得的频率响应函数谐振频率附近的频段数据结合最小二乘法即本文方法进行参数辨识。应用本文方法对仿真参考加速度计和被校加速度计的输出信号进行降噪,权值系数,并与传统的基于小波变换的阈值降噪方法进行对比。其中,选取的小波基为‘db3’,分解层数为6。实验结果如表2所示。其中校准结果为绝对法正弦激励振动校准结果,来自中国计量科学研究院。

表2 模型参数辨识结果

由表2可知,相较于方法1,本文方法参数辨识得到的模型更接近中国计量科学院绝对法正弦激励振动校准结果,且参数辨识的结果的标准差接近或小于法1,本文方法结果较稳定。

4 结 论

实验表明,本文方法可以降低加速度计信号中的噪声对信号精度的影响,提高参数辨识精度,且结果较稳定。