我与数学竞赛之间的故事

林开亮

奥林匹克数学竞赛，简称“奥数”，是全世界非常热门的一项数学竞赛。有人认为它是升学的法宝，但也有人认为它比“黄、赌、毒”还厉害，不同的人站在不同的角度、不同的立场，怀着不同的目的，对它的认知自然不同。如果过滤各种名利，还原其本质，你会发现，奥林匹克数学竞赛其实是发现数学人才的有效手段之一。

发现数学人才

举办数学竞赛的初衷是选拔出一些有数学特长的学生，即“数学家苗子”。从数学竞赛脱颖而出的高中生，往往会被知名高校的数学系（或其他系）提前录取，就是因为他们是“数学家苗子”。所以从本质上讲，顶级的数学竞赛其实是为这群最有数学天分的学生准备的。可以想见，这类天分极高的学生也很少。所谓天分，着重在其领悟力、洞察力。而这很难通过后天的训练培养，所以如果你发现你天分并不是很高（有天分的一个标志是，你常常能超过一些优秀的老师而不仅仅是同学），那么你就不要对自己在竞赛方面期望过高。

就拿我来说吧，2001年我在全国高中数学联赛中获得了一等奖，这坚定了我继续学习数学的决心，后来我参加高考，被天津大学数学系录取。因为竞赛获过奖，所以老师和同学也一直对我另眼相待。但另一方面，我也要说，在大学阶段，数学竞赛曾一度限制了我的视野，使我只见树木（竞赛题）不见森林（知识的海洋），继续沉迷于思考高中数学竞赛难题而难以自拔，以至于我一度对数学失去信心，幸而后来在图书馆读到几本有趣的数学书，终于把我拯救出来。

学会了分享与交流

数学竞赛是一项竞技活动，很可能学生在平常就会将身边的同学视为竞技场上的对手，而保留自己的“独门绝技”。但其实，真正要在数学上有所成就，就必须要跟师长、朋辈多多切磋交流。

生于1981年的青年数学家许晨阳（现在美国麻省理工学院任数学教授）曾在访谈中说道：“数学竞赛对我最大的帮助，就是通过这个途径认识了很多和我志趣相投的人。在对科学、对世界的好奇心的驱使下，大家互相讨论、互相激发、共同进步，数学竞赛对于建立这样一个年轻人的组织来说帮助非常大。”他本人在1999年进入奥林匹克數学竞赛国家队，并结识了许多志趣相投的人，后来这一群人都被保送到了北大数学系。许晨阳特别提到：“数学竞赛作为一种社会组织教育模式，最积极的一点是让很多对数学有兴趣的、志趣相投的孩子，很早地共同处于一个团体之中，相互影响，产生良性竞争。”

简单地说，与只看重结果的竞赛不同，对数学的学习与理解，更注重分享交流的过程。也许正是因为有些从竞赛中脱颖而出的“数学家苗子”没有像许晨阳一样认识到这一点，所以最终未能走上职业数学家的道路。我本人就是很晚才认识到这一点，从而错失了许多与优秀的老师与同学切磋交流的机会。希望各位对数学有志趣的读者，能及早认识到这一点：数学竞赛本身存在着激烈竞争，但对数学的追求和热爱其实是要分享交流才会有更大的收获。奖牌与证书只是一个象征，而数学的天地远比一块奖牌或一张证书广阔得多。

延伸阅读：

竞赛培训是好还是坏？

现如今，由于竞赛获奖可以在升学中加分，因此包括数学在内的各种学科竞赛的培训非常热门。这些培训，对一般人在数学方面的成长，究竟有无帮助呢？不能一概而论。

参加竞赛培训既要看自身的兴趣与能力，也要看培训老师的水平与眼界。如果自身对数学有兴趣又有能力（普通的能力是可以通过训练培养的），想在课外钻研更深入的内容，有人适当引导是好的;但如果自身本就对数学缺乏兴趣，可能就不适合竞赛培训了。另外，培训过程中对培训老师的要求反而更高。现在大多数培训的模式是让学生做题目，但给学生准备适当难度的题目很需要眼光，给学生讲清楚对一个题目的分析与解答，也要求老师有很深的数学功力与语言表达能力。更难得的是培训老师对学生的点拨与启发，是否能教学生举一反三、启发引导学生展开类比、联想与推广—高明的老师不仅能引导你如何解决问题，还能引导你如何提出问题。

启发、引导思维

现如今，普通的数学竞赛培训模式有待改进。我所了解的数学竞赛培训，往往是老师讲得多，启发引导学生比较少，这种灌输式的教学，对于解题训练、提高数学思维来说，可能效果不好。我建议，每个老师和学生，都向匈牙利的数学家、数学教育家波利亚（Polya）认真学习，他的《怎样解题》可谓训练解题、提升思维的一本圣经指南。下面我试图按照波利亚的精神，举一个例子来说明，如何启发引导学生的思维。

这是2017年第23届华罗庚金杯少年数学邀请赛（小学高年级组）初赛试题的第5道选择题（一共6道选择题和4道填空题，每个题目10分，限一个小时完成。建议小学高年级的读者先用5分钟测试一下自己能否做出来）：

从1～20 这20个整数中任意选取11个，其中一定有两个数的和等于（  ）

A.  19    B.  20    C.  21   D.  22

怎么解决这个问题？作为选择题，你如果有数感，很多时候直觉会指引你一个最有可能的答案，本题就是如此。你可以先猜一下，然后再想一想这个猜测是否合理。我相信许多有数感的人都会倾向于21这个选项，原因在于你可以看到，有很多对数字加起来都等于21：1+20=2+19=3+18=4+17=5+16=6+15=7+14=8+13=9+12=10+11=21。这就是说，21作为两数之和出现的可能性非常大，这就引出你的判断。如果说考场上时间非常紧，你可以考虑直接选C，如果你有时间来进一步验证，那也是很容易的。比如你选取前11个数，从1到11，那么你会发现，这其中允许出现19=10+9，20=11+9，21=10+11，但绝对没有22，所以D选项被排除。为了排除A和B，你再选取后11个数，从10到20，那么你会很容易发现，这11个数任取两个数，其和至少是10+11=21，这就排除了19和20，即A选项和B选项。根据排除法，只能选C了。在考场上，这就足以确定答案了（上述过程也许两分钟就够了）。

但如果放在平时的训练中，学生尤其是老师不应满足于此，应该进一步想想其中的道理何在。为什么一定有两个数之和等于21呢？可以这样设想：究竟什么样的两个数之和可以是21？很明顯，这样的两个数一定是以下十对之一：1和20，2和19，3和18，4和17，5和16，6和15，7和14，8和13，9和12，10和11。现在就很清楚了，你可以设想以上十对数每一对的两个数绑在一起（就像拉着手的两个人），现在我们要从全部的20个数中选出11个数，那必定就有两个数是捆在一起的，自然这个捆在一起的数相加就是21。如果再联想类比，我们可以进一步抽象成下面的直观结果：从10对夫妻中任意选取11个人，那么一定有一对夫妻（这个抽象其实只需要少许想象力）。其推理本质跟前面是一样的。显然，这结果可以进一步推广：设n是一个正整数，从n对夫妻中任意选取n+1个人，必定有一对夫妻。如果再还原成数的结果，就是：设n是正整数，从1～2n这2n个整数中任意选取n+1个，其中一定有两个数的和等于2n+1。到这里，这个题目才算是得到了圆满的理解。我希望，许多读者也从我对这个题目的抽象升华中体会到数学思维之美与威力，这也应该是许多老师应该分享给学生的。

对任何数学问题，都应努力追求最本质的理解，要达到这一点，就要找到问题的关键点（相信上题的关键点你已清楚），一旦找到了关键点，问题就不是问题了，而是变成一个简单的事实（也就是我们上面所追寻的道理）。我认为，在竞赛培训中最重要的，并不是告诉学生每一个题目背后的事实与道理，而是要逐步引导学生通过一步步由浅入深的分析推理，找到问题的关键所在。简单说，老师要教给学生的，不能仅仅是知识，还有更重要的方法—分析问题、解决问题的方法。在这个过程中，需要老师积极调动学生思考，唯有如此，学生才能从中真正受益。当然，从这个角度上讲，如果学生对数学有热情，乐于思考问题，那么一个普通老师对他的帮助可能不会很明显，天分越高的学生对老师的要求也越高。如果你感觉自己很有天分，那么你需要尽量找一个高水平的老师来带你上路。

（责任编辑/岳萌  美术编辑/胡美岩）