利用标数法 破解三视图

安徽省无为第三中学城北校区(238300)朱小扣

福建省华侨大学附属中学(362021)王晓芬

对三视图的考察一直是高中数学的重点,往往是通过三视图还原物体的直观图,从而计算直观图的表面积和体积.但还原物体的直观图却是是学生学习和教师教学的难点.为此,本文总结出利用标数法破解三视图问题的解题策略,以期对同学们备战高考有所帮助.现分析如下,供大家参考.

例1(2016年河北省邯郸一模)如图1,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图,则该四面体的表面积为( )

图1

图2

解析利用正视图,在可能的正方体的顶点上标上“1”； 利用侧视图,在可能的正方体的顶点上标上“2”；再利用俯视图,在可能的正方体的顶点上标上“3”,如图2,得到了同时拥有“1,2,3”的5 个点A,B,C,D,E,再经过确认排除E 点,于是得到所求几何体是三棱锥A-BCD：由正方体的性质可得,故该四面体的表面积：S =故选B.

上题如不用标数法,极容易出错,又如：

例2(2016年安徽省蚌埠一模)某空间几何体的三视图如图3所示,则该几何体的体积为()

图3

解析利用正视图,在可能的长方体的顶点上标上“1”；利用侧视图,在可能的长方体的顶点上标上“2”； 再利用俯视图,在可能的长方体的顶点上标上“3”,如图4,得到了同时拥有“1,2,3”的6 个点A,B,C,D,E,F,再经过确认排除点F,于是得到所求几何体是多面体ABCDE：

图4

除了顶点标数外,还可能标数在棱的中点,如：

例3(2014年高考新课标I 卷)如图5,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

图5

图6

解析类比例1,例2 可以得到所求几何体为三棱锥D-ABC,如图6所示：其中故最长的棱的长度为DA=6,选C.

上面的例题说明标数法能在复杂的三视图中,帮助我们迅速地求解,又如：

例4在棱长为2 的正方体内有一四面体A-BCD,其中B,C 分别为正方体两条棱的中点,其三视图如图7所示,则四面体A-BCD 的体积为( )

图7

图8

解析同样用标数法易得A,B,C,D 四点位置如图8所示(其他点没标注)：因为正方体的棱长为2,故令E 为AD 的中点,连接BE,CE,则BE⊥AD,CE⊥AD,则AD⊥平面BCE,由勾股定理可得：易得故故四面体A - BCD 的体积为：故选D.

总结在近几年的各类考试中,以三视图为背景的试题屡见不鲜,且常考常新,应引起高度的重视,但由于学生空间想象力的匮乏,无法迅速地通过三视图还原出直观图,导致考试丢分.这同样给教师的教学带来麻烦.但如果利用标数法,标上“1”“2”“3”,就可以三位一体,使得问题迅速地,正确地解决.