基于贝叶斯的高斯杂波背景下MIMO雷达自适应检测算法

韩金旺 张子敬 刘 军 赵永波

①(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室 西安 710071)

②(中国科学技术大学信息科学技术学院 合肥 230027)

1 引言

近年来多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output， MIMO)雷达是雷达领域的一个研究热点[1-4]。根据天线配置，MIMO雷达分为两类：一类是分布式MIMO雷达，其特点是发射和接收天线被分置于不同的空间位置[5-9]，另一类是集中式MIMO雷达[10-14]，其将发射和接收天线集中放置。分布式MIMO雷达的空间分集性可以有效减轻目标的雷达横截面积(Radar Cross Sections， RCSs)闪烁，从而可以提高检测性能[15，16]和估计精度[17]。集中式MIMO雷达发射相互独立或正交的波形，从而获得了波形分集性能，提高了系统自由度，因此可以获得更优异的性能，如更加灵活的波束形成性能[18]、更优的检测性能[19]和更好的干扰抑制性能[20]。

雷达的主要功能之一是目标检测。许多文献对分布式MIMO雷达在协方差相关性未知情况下的检测问题进行了研究[21-23]。为了估计未知的杂波协方差矩阵，一般要遵循如下假设：有充足的均匀的训练数据可用。实际中，由于杂波谱的快变性，往往无法得到充足的均匀性训练数据，由此会带来检测器的性能下降。可以采用一些方法来减轻性能损失，例如，利用杂波协方差矩阵的斜对称结构[24]。然而，由均匀性训练数据不足引起的问题不能被完全解决，因为这些方法仍然需要训练数据。

为了彻底解决均匀性训练数据不足的问题，一个可能的方法是不使用训练数据进行目标检测。集中式MIMO雷达可以直接使用自适应处理技术而不需要训练数据[25]。本文研究的检测问题主要针对集中式MIMO雷达。除非特别说明，以下将集中式MIMO雷达简称为MIMO雷达。

文献[20]从MIMO雷达参数估计和干扰抑制的角度，给出了一种基于广义似然比检验 (Generalized Likelihood Ratio Test， GLRT)的检测器，文献[26]推导出这种检测器虚警概率和检测概率的闭集表达式并分析其性能，注意到这种检测器不需要训练数据，从而有效解决了均匀训练数据匮乏的问题。根据Rao和 Wald准则，文献[26]设计了两个不需训练数据的自适应检测器。几种检测器各有优势，在信号匹配情况下，文献[20]中的GLRT检测器的检测性能最好。在信号失配情况下，与GLRT检测器相比，Rao检测器抑制失配信号的性能更好，而Wald检测器的鲁棒性更好。进一步地，文献[27]推导了一种参数可调的MIMO雷达检测器，从而可以灵活地调节选择性和鲁棒性。

需要指出的是，许多检测器将杂波协方差矩阵建模为未知确定的矩阵[20，26，27]，此方法的一个缺点是无法将协方差矩阵的先验信息应用到自适应检测算法中。贝叶斯方法将杂波协方差矩阵建模为未知随机的，并为其指定一个合适的先验分布，从而可以有效地利用协方差矩阵的先验知识。

贝叶斯方法已经应用到了一些场景，如多通道雷达的空时自适应处理[28，29]和高斯杂波背景[30]或复合高斯杂波背景[31]下的分布式MIMO雷达的自适应检测。对于分布式MIMO雷达，文献[30]针对距离扩展目标推导了一种基于贝叶斯理论的GLRT检测器，雷达的检测性能得到了较大提高。文献[31]研究了随机纹理的复合高斯杂波背景下的分布式MIMO雷达检测问题。然而，目前还没有基于贝叶斯理论的集中式MIMO雷达检测器。

本文借鉴在分布式MIMO雷达中基于贝叶斯框架的GLRT检测器的理念，结合集中式MIMO雷达的特点，研究与设计集中式MIMO雷达的贝叶斯检测器。本文假设杂波协方差矩阵服从逆复Wishart分布，因为这种分布可以满足数学上的易处理性而且可以反映雷达工作的环境。根据GLRT准则，本文利用杂波协方差矩阵的先验分布设计了两种贝叶斯检测器。仿真结果显示相比传统的非贝叶斯检测器，本文的贝叶斯检测器具有更好的检测性能。

2 问题阐述

在窄带模型下，目标位置处的基带信号可以表示为

其中，

目标检测问题可以转化为式(11)的二元假设检验问题：

一个合适的先验分布要能反映雷达的工作环境，并且在数学上易处理，考虑以上两点，本文认为杂波协方差矩阵服从逆复Wishart分布[32]，即

3 MAP-GLRT检测器

这一部分将推导出MAP-GLRT(Maximum A Posteriori GLRT)检测器，接收信号在假设和下的概率密度函数分别表示为

实际上，逆复Wishart分布是式(15)和式(16)的共轭先验分布。也就是说，如果先验分布是逆复Wishart分布，则式(15)和式(16)是后验概率密度函数(Probability Density Function， PDF)，这是易处理性的基础。

根据奈曼皮尔逊(Neyman-Pearson， NP)准则，最优的检测器可以通过似然比检验获得。然而，由于存在未知参数，使得无法采用似然比检验推导出最优检测器。因此，这里采用广义似然比检验设计检测器。广义似然比检验可以描述问题为

将式(15)和式(13)代入到式(20)中，并取对数得

利用式(23)，式(24)代数不等式

从而得到

进一步地，等式在式(26)情况下成立

其中，

注意到

将式(43)和式(42)代入式(41)，得到

将式(44)代入式(39)，可以得到

将式(45)代入式(30)，最终得到GLRT检测器，记为MAP-GLRT：

4 BAMF检测器

这一部分采用两步法来设计基于贝叶斯方法的BAMF(Bayesian AMF)检测器。首先，假设协方差矩阵是已知的，则GLRT可以表示为

将式(55)代入式(50)并化简，最终得到BAMF检测器为

5 仿真实验

这一节，将提出的检测器与传统的非贝叶斯检测器进行检测性能比较。因为MAP-GLRT检测器与BAMF检测器的闭集形式的虚警概率(Probability of False Alarm，) 和检测概率(Probability of Detection，)表达式无法得到，所以采用蒙特卡罗方法评估检测性能。检测门限和检测概率分别通过与次独立实验得到。在以下仿真中，发射和接收阵元数设置为，阵元间距为半波长。假设，其中，采用指数相关的协方差矩阵，即第个元素是

为了对比，这里给出传统的非贝叶斯GLRT检测器[20]：

Rao检测器[26]：

Wald检测器[26]：

图1 K 取不同值时的ROC曲线Fig. 1 ROC curves for different K

图2 K 取不同值时关于SCR的曲线Fig. 2 versus SCR for different K

注意到上述仿真均假设逆复 Wishart 分布的参数 (即和) 是完全已知的。实际上，这些参数是未知的，可以使用文献[32]中的方法进行估计，这就不可避免地产生估计误差，接下来研究贝叶斯检测器在参数和失配情况下的检测性能。首先，假设是确定已知的而存在失配，图4仿真了这种情况下检测器的ROC曲线。这里采用两个阶迟滞相关系数和去仿真这种失配，其中和分别用在实际的和名义上的中。仿真参数设置为：真实的阶迟滞相关系数设定的阶迟滞相关系数分别为其他参数设置为和。图4显示阶迟滞相关系数的失配导致了检测器性能的下降。

图3 L 取不同值时检测器的ROC曲线Fig. 3 ROC curves for different L

图4 1阶迟滞相关系数失配时检测器的ROC曲线Fig. 4 ROC curves when one-lag correlation coefficient is mismatched

图5 自由度L失配时检测器的ROC曲线Fig. 5 ROC curves when L is mismatched

6 结束语

本文研究了协方差矩阵未知的高斯杂波背景下MIMO 雷达的自适应检测问题，杂波的协方差矩阵被建模为服从逆复 Wishart 分布的随机矩阵，然后基于贝叶斯方法和广义似然比检验准则设计了MAP-GLRT 检测器与BAMF检测器，这两个检测器不需要训练数据。研究结果表明利用协方差矩阵的先验信息可以有效提高检测器的检测性能，尤其是在发射波形采样数较少时。在1阶迟滞相关系数或自由度失配时，贝叶斯检测器的检测性能会有所下降。