“画线段图”的价值思辨及其教学策略

刘雷

摘  要：线段图不仅应看成一种工具，更要看成一种课程目标。通过线段图，教师能启迪学生心智，开阔学生视界。在小学数学教学中，画线段图是知识建构、问题解决、发展思维的重要载体、媒介、手段。作为教师，要引导学生产生画线段图的心理需求，教给学生画线段图的方法，催生学生画线段图的智慧。

关键词：小学数学;画线段图;教学思辨;教学策略

“线段图”是小学生解读数学信息、分析数学问题的一种基本的辅助手段。所谓“线段图”，是指“运用一定的线段、文字、数字等符号描述事物几何特征、形态、大小等的一种形式”。在小学数学教学中，教师要引导学生合理地应用线段图去表征问题信息，去分析隐含的数量关系，从而化问题的复杂为简单、陌生为熟悉等。在“画线段图”“用线段图”的过程中，自然能提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。作为教师，不仅要将线段图看成一种工具，更要将其看成一种课程目标。通过线段图，启迪学生心智，开阔学生视界。

■一、“画线段图”的价值思辨

对于“线段图”，不同版本的教材均为做出明确的要求，只是作为一种常规的辅助手段。在教材中，通常“线段图”都是现成的，几乎都是作为一种“成品”，至多是作为一种“半成品”。这样的教材安排，让教师的教学倍感迷惘：是要求学生画线段图呢，还是对学生不做要求，只要求学生会解读线段图、分析线段图？以苏教版为例，笔者梳理了小学阶段的十二册教材，结果发现，在低年级“用倍解决问题”时，学生首次遭遇线段图，而后教材又淡化了线段图，指导六年级出现了分数乘除法应用题，线段图再次出现。换言之，在教材中，线段图的教学不是连续的而是断裂的。笔者认为，作为教师，应当从小学低年级开始，将线段图教学一以贯之，充分彰显线段图的工具价值和本体价值。

1. 从知识建构上看，线段图是重要的手段

教育心理学研究表明，学生的思维是从直观的动作转向具体形象再到抽象逻辑的过程。在数学知识建构过程中，学生需要借助线段图进行思维、思考、探究，线段图是知识建构的载体、媒介。有了线段图，学生就能“数形结合”，从而建立良好的、清晰的、丰富的知识心理表征。比如小华有20张画报，小明的画报是小华的3倍，小明有多少张画报？教学中，教师要引导学生构造线段图，通过画图，让学生理解、建立“一倍数（一份数）”等的概念。同时，通过“线段图”，显现学生的真实思维，让学生能有效地分析“和倍问题”“和差问题”。不仅如此，师生共同构建出线段图，通过数形结合，也能为学生后续学习“一份数”“几分之几”等奠定坚实的基础。

2. 从学习表征上看，线段图是重要的媒介

在数学教学中，线段图能将蕴含抽象数量关系的问题进行有效的表征，从而化复杂为简单、化陌生为熟悉。线段图具有这样的教学功能：舍弃数学问题中的无关信息，抽取数学问题中的有效信息，从而对复杂的数量关系建立数学模型。通过“线段图”，具有代数性质的数学问题被几何化，也就是说，将“数”的问题转化为“形”的问题。比如“行程问题”中的“相遇问题”“追及问题”等，如果不借助表演，学生是很难理解路程、时间和速度之间的关系的。借助线段图，就能将复杂的数量关系问题转化为“形”的问题。如“小张和小王同时从相距60米的两地出发反向而行。小张的速度是60米/分，小王的速度是65米/分。3分钟后两人相距多少米？”通过画线段图，学生能够建立“速度和×相遇时间=路程和”的相遇问题的基本数量关系模型。对于学生来说，没有线段图的支撑，相遇问题的数量关系模型就是不可思议的，而有了线段图的支撑，这种抽象的数量关系模型就有了理解的依托。

3. 从思维向度上看，线段图是重要的载体

在数学教学中，线段图不仅可以支持数学知识建构、表征数学问题，而且可以发展学生的数学思维。线段图能激发学生数学地思维，引导学生数学地思考。通过线段图，学生完成由问题的“文字表征”向“形象表征”，再由“形象表征”向“数学表征”的过渡。借助线段图，学生展开积极的数学观察、数学思维、数学比较、调整、猜测、想象等。比如，“小明和小华一共搜集了20张画报，如果小明给小华2张画报，两人就一样多，原来小明和小华各搜集多少张画报？”这样的动态的操作过程，只有借助形象的线段图，才能将小明、小华各个阶段持有的画报样态固化下来，从而便于学生展开动态思考。可以说，学生运用线段图策略解决问题的过程就是学生“数学思考”的发展过程。

■二、“画线段图”的教学策略

学生“画线段图”包括学生“模仿画”“自主画”“创造性画”的不同阶段过程。学生画线段图，绝不仅仅是用手简单地画，而更是用眼睛看（教师构图）、用头脑思考（谋划画图）的过程。在画线段图的过程中，教师要充分激发学生的主体性，让学生在画线段图的过程中形成创新性解决问题的能力，提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

1. 引发学生“生线段图”的心理需求

在听巡课过程中，笔者经常发现，一些教师要求学生画线段图，结果发生了令人吊诡的现象：一些学生先解决了问题，而后再补画线段图。换言之，“画线段图”之于学生，不是一种内在的心理需求，不是为了解决问题的需要，而是为了画图而画图，画图失去了原有的本真性意义和价值。教学中，教师不必强迫学生画线段图，如果学生不画线段图能够解决问题就可以不画。为此，教师要激发、引发学生“画线段图”的心理需求。通过这种心理需求，培育学生画线段图的意识。学生画线段图的心理需求一般源于以下两个方面：一是当学生身陷困境、百思不得其解时;二是当学生通过直观、具体形象的思维解决问题心存疑虑时，这时“线段图”能让学生“柳暗花明又一村”。因此，教師在教学中要设法让学生的数学学习处于“愤悱”状态，从而借助线段图来进行启发。比如典型的“和差问题”：一架照相机和它的皮套一共1000元，这架照相机比皮套贵900元。这架照相机和皮套各是多少元？学生在思考中遭遇障碍，当笔者引导学生画图后，学生就找到了思维的支撑点、解决问题的突破点，即先从总价里面减去多的钱数，那么照相机就和皮套的价格相等了。不仅如此，学生还可以借助线段图的直观功能进行“验证”。因此，作为教师，要把握学生具体学情，透过学生的神态、言语、动作等外部特征，洞察学生心理需求。这时，线段图不仅具有导学功能，而且能让学生体验到教师“善解人意”“普解人意”的人文关怀。

2. 指导学生“画线段图”的具体方法

毋庸讳言，“画线段图”是一项技能，这项技能有助于学生分析问题、解决问题。作为教师，要指导学生画线段图的具体方法，比如先画什么，再画什么，然后画什么;比如具体数量应当标注在什么地方，文字说明应当标注在什么地方等。教学中，教师可以采用“进门槛效应”，引导学生逐步掌握画图技能，形成画图技巧。比如教学“和倍问题”，一开始画图，笔者画出一份数，然后让学生画出几份数。待学生了解了线段图、熟悉了线段图之后，教师可以赋予学生自主的时空，让学生建构性画图、创造性画图。当学生借助线段图，能分析题目中的关键条件之后，学生就能体认到线段图的意义和价值。在画线段图的过程中，教师要引导、启发学生一些画线段图的方法，比如先画单位“1”的量，比如先画一份数，比如先画标准量等。通过这样的画图指导，学生在解决和差问题、和倍问题、差倍问题、解方程以及分数应用题时都能自觉地画图，并且能将图画好。学生自主构造的线段图中，往往凝注着学生的独特思维、创造性想象等。实践证明，让学生从自我经验出发构造线段图，常常能够让学生的思路别开生面，让学生的数学学习绽放不可预约的精彩。

3. 催生学生“用线段图”的运用智慧

在学生“画线段图”的过程中，教师要引导学生不断地分析，根据分析对线段图进行再加工。在运用线段图的过程中，教师要引导学生进行数形结合，进行比较，进行反思。比如，线段图是否有助于学生的问题解决？线段图是否有助于学生的思维发展？在运用线段图的过程中，教师要让学生进行自我调控、自我指导、自我支配、自我监视。比如一位学生在运用线段图分析“锯木头的次数”“锯木头的段数”之间的关系时，将线段图竖着画，从而增进了学生自身的直观理解，这不能不说是学生基于自我经验、自我理解的数学创造。再比如，一位学生在画一个数、一个数的几倍数、比一个数的几倍数多几的线段图时，也将一个数的几倍数竖着画，从而借助数学直观分析和解决数学问题。

作为一种直观化的解决问题的手段，线段图是学生从具体形象思维过渡到抽象逻辑思维的载体。教学中，教师要把握学生具体学情，根据数学问题特质，有效地引导学生画图、构图、析图，引导学生在数与形、文与图之间相互转化。只有这样，才能让学生的问题解决得心应手，让学生的数学学习游刃有余。