高中数学概率教学的模式研究

谢鹏作

概率是研究随机现象规律的科学，在日常生活中随处可见，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识，学习概率的基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，学会用科学的方法观察世界，可以消除日常生活中的一些错误认识，因此概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象，

选择高中概率中“概念教学”和“解题教学”两类最基础的课型进行大量的案例研究，聆听众多课堂，分析教学内容，学习对象，教学环境等因素，从大量的教学方法中抽象出具有普遍意义的，能用于多种不同内容教学的教学策略，从成功案例的一

招一式中，合理挑选，巧妙地组合出适合概率内容的教学模式，旨在全面提高教学质量，让广大学生获得更清晰的概念，深刻地理解和熟练地应用，以便提高对随机事件的判断能力.

1概率概念教学的模式研究

概念在数学中普遍存在，是教学内容的基本点，是逻辑导出定理、公式、法则的出发点，是建立理论系统的着眼点，是理解和掌握数学理论、方法的基础，数学概念的学习可以说是学生学习数学的根本前提，学生学习数学概念的效果如何，直接影响着学生数学知识的理解与掌握，关系到学生数学能力的培养与提高，概念的教学一般都要经历概念的形成，概念的表述，概念的辨析，概念的应用等阶段，在概率概念的教学中，教师往往不注重概念的形成过程，只是一味地应用概念解答题目，忽视了概率概念的产生与形成的背景，没能帮助学生把概念的掌握还原成为一个再发现、再创造、再理解的过程，导致学生对概念的认识存在不稳定性，

高中数学概率内容中基本概念有“概率”、“事件”、“基本事件”、“事件的关系”、“古典概型”、“几何概型”、“条件概率”、“事件的独立性”等，从表面看比较简单，容易理解也易于区分，但实际情况并非这样，存在很多學生常犯的错误和棘手的问题，常见的有：对概率概念的理解不准确;古典概型中缺少基本事件等可能性的判断;几何概型中容易对均匀的忽视;条件概率中对事件发生的条件与条件概率的条件区分不清楚;事件的独立性中所使用的乘号与条件概率中的乘号关系不明了等，下面以《古典概型》为例谈概念教学，

《古典概型》设计的过程是：如何判断一个随机事件是否为古典概型，教学中首先给出基本事件、等可能基本事件的定义，接着介绍古典概型的概念，最后进行概念辨析练习，数学家徐利治先生认为数学概念的抽象分为扩张式抽象和强化结构式抽象，扩张式抽象即从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原始结构更广的结构，使原结构成为后者的特例，强化结构式抽象即通过引入新特征，强化原结果来完成抽象，例如随机事件的概念加上“基本事件等可能性”、“基本事件数有限”这两个特征便是古典概型，因此，古典概型比随机事件的概念更抽象，这种加强结构的抽象方法称为强化结构式抽象，面对这样的抽象概念，根据斯坎普的两条教学原则：一是超过个人已有概念层次的高阶概念不能用定义方式来沟通，只能搜集有关的例子提供经验，再靠他自己抽象以形成概念;二是在数学中，与所学概念相关的例子中常常又会含有其他概念，因此，在提供例子时必须确定学生已经形成这些预先的概念，由此可知，在古典概型概念中，基本事件是一个学生没有学过的概念，因此首先要让学生了解这一概念，

教学设计中首先做了学生熟悉的抛硬币和抛扑克实验让学生熟悉问题情境，观察可能出现的结果，接着给出基本事件的定义：“在一次实验中可能出现的每一个结果称为基本事件”，设计流程为“教师演示实验——直观图像展示实验结果——给出基本事件的定义”;其次，古典概型概念超过了学生已有的概念层次，因此需要提供实例，由学生自己抽象形成概念，在古典概型的概念理解中，对基本事件等可能性的理解是一个难点，因此在这一关键点的理解上进行了重点设计，首先让学生计算实验中每一个基本事件的概率，发现实验中基本事件的概率相等，给出等可能基本事件的概率;然后总结实验的共同特征，形成古典概型的概念，接着给出生活中古典概型的实例，将概念与生活联系起来;最后进行概念辨析，给出反面例子，使概念更加稳固和清晰，设计流程为“形成等可能基本事件的概念——形成古典概型的概念——给出生活中古典概型实例——概念辨析”.

动手实验，创设情景，在活动中体验感悟，激发学生学习动机;然后引入新概念，通过大量举例表征问题，提纯概念本质;通过变式练习，强化对概念的理解;通过学生互动，自我监测掌握情况;利用分层训练，检测应用知识能力;挖掘习题功能，培养解决问题能力;及时反馈信息，激励学生学习兴趣，这一概念学习的过程对概率概念的教学非常有效，教学模式如下：“动手实验，创设情景一大量举例，表征问题一提纯概念，引入概念一变式练习，强化理解一学生互动，自我监测一分层训练，提升能力”.

2 概率题解题教学的模式研究

关于概率题解题教学的说法大相径庭，观点不一，由于教师对概率的认识与理解不同，教学的重点不同，教学时所采用的方法也不同，导致学生对概率的理解上存在很大差异，究其原因，除了概率概念本身所具有的高度抽象性、概括性外，还与教师对概率概念所蕴含的数学内涵的挖掘、对高中课程和教材的知识体系的理解、对学生学习过程中出现的困难的了解、对概率教学方法和教学案例拥有的丰富程度有关，基于此，对高中概率知识的解题教学进行分析，提取高效的方法，进行模式研究是十分必要的。

概率问题中的概念性错误常常是顽固且不易改变的，因为学生常常秉持着自己的原有想法，即使接受正式的科学概念，仍然会以既有的想法来解释自然现象，正如波罗维尼克等人所研究的：许多概念（例如独立性）在经过数学的形成定义后，仍不能改变学生原有的概念，所以我们一定要重视教育的能动作用，在学生盲目地解答概率问题时，通过不断地尝试错误，从而使错误现象逐渐较少，正确逐渐增加，在这个过程中不断刺激学生的思维与其反应的联结，教师不急于纠正学生出现的错误，可以让学生充分暴露出错误的思维，几次解答出现矛盾，学生的理解陷入困惑时，抓住时机激发学生的探求欲望，学生急迫得到教师的指导，表现出强烈的求知欲，教师此时恰当地引导学生，而建立不同的概率模型，使学生从中认识错误，加深对概率概念的理解，但同时，教师更应加深对概率内容的认识，从而灵活地处理学生错误的问题，

现引用一道题目的解答过程：

题目1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？

为了让学生统一事件，教师提前对事件命名：记从1号箱中取出一白球放入2号箱为事件B，记从2号箱中取出一红球为事件A.首先让学生各自独立解答，然后把不同的答题过程列到黑板上，

教师：请同学们思考，学生2的解释是否正确！你们还有其它看法吗？

学生：正确！（无人举手表达其它看法）

教师：看来可排除解法1，原因是计算P（AB）时错误地将事件A，B认为是相互独立的，请采用解法2的同学选代表解释过程，

学生3：事件A发生意味着：事件B发生的条件下A发生了，和事件B发生的条件下事件A发生

学生9：请问同学们利用古典概型计算P（AlB），P（AlB）有疑问吗？

学生10：（举手回答）认为基本事件总数应为ClCl，理解为完成这件事有两步，先从1号箱中取出一球放入2号箱有c：种方法;再从2号箱中取出一球有c：种方法，完成这件事共有ClC1，而不是c：c;或ClCl种方法，

学生9：因为c：c：为B发生的条件下，A发生的事件总数;c：c;为B发生的条件下，A发生的事件总数，而学生10计算的Clc;种方法与B与B的发生没有关系，

此时，学生10欲起立争辩，但又坐回去，表现出忐忑之情！

教师：其他同学还有疑问吗？（同学们都在思考，但无人回应！）

教师：以上同学对4种解法分别进行了分析与解释，从中否定了解法l和解法3中学生4的分析，原因是？

学生：（齐答）事件A与事件B不独立！

教师：好，同学们，我们一起经历了刚才的过程，现在请问解法2的同学还坚持自己的解法吗？

此时，有13位同学肯定解法3正确，认为解法2错了，其余同学还在坚守自己的思考，

教师：请问其他同学对该题还有什么疑问？

学生11：老师，我觉得该题的结果不应大于，因为从1号箱取出红球放入2号箱，再从2号箱取开朗，异口同声地说：“原来不互斥呀！”个个脸上绽放着喜悦的表情！）

教师：同学们，大家对本节课内容还有疑问吗？

学生：（齐答）没有了！

教学贵在自然，抓住本质;学习贵在简单，理解深刻，本题目的解答教师注重知识联系，根据学生实际，从学生思维的最近发展区组织解题，学生经历“思考——观察——交流——疑问——释问”，经历了困惑、迷茫、挣扎、顿悟和欣喜的过程，在质疑、交流、争辩中认识独立事件、互斥事件的概念与区别，在解决问题的同时，增强了发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，解题中，教师没有及时点拨或“包办代替”而是把解决问题的主动权还给学生，组织学生开展了一场精彩的自我辨析，学生在主动参与自我更正中，逐渐认识到自己错误的根源，找到解决问题的方法，既加深了对知识的理解与掌握，又提高了思维能力，取得了出人意料的效果，

可见，合理高效的解题设计是通过制造认知冲突，解决认知冲突，然后强化对概念的認识！概率题目解答的教学模式为：“课前学生先做，教师批阅一课堂教师组织学生讲解，大家提问，共同讨论，一起思辨一课后学生反思，撰写体会，加强理解”。