稳健参数设计发展现状和趋势研究

王淑婷

摘要：本文梳理总结了国内外文献，分别对稳健参数设计以及多响应优化方法进行阐述，通过对文献的整理，了解稳健参数设计的发展历程、研究现状，并分析稳健参数设计和多响应优化方法的研究趋势。

Abstract： This paper summarizes the domestic literature and abroad， elaborates robust parameter design and multi-response optimization methods respectively， Through the literature collation， we understand the development history and research status of robust parameter design， and analyze the research trend of robust parameter design and multi-response optimization methods.

关键词：参数设计;优化算法;质量设计

Key words： parameter design;optimization algorithm;quality design

中图分类号：TB21                                         文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）18-0256-04

1  稳健参数设计方法

在技术创新、实现量产的情况下，国内外对产品的需求不仅仅局限于数量，而是更加关注质量，随着人们的需求变化，工业界开始了对质量的控制和改进。但是传统的质量控制集中在事后控制，无法实现从源头上降低成本、提高产品质量的目标。在70年代，Taguchi提出了稳健设计方法来进行质量控制，并在研究者们的深入探索中，不断对其进行改进，以满足实际需求。穩健参数设计主要内容是，在产品设计过程中，通过控制可控因子的组合，得到多组实验数据，选取最佳的参数组合，这一方法能有效的减少波动，提高产品的稳健性。

1.1 基于田口方法的稳健参数设计

稳健设计[1]也叫三次设计，包括系统设计、参数设计以及容差设计，其实质在对产品参数进行设计前，研究对象为可控因子，在考虑噪声因子的情况下，进行正交试验设计，得到多组不同的可控因子和噪声因子组合以及实验结果即响应值，通过计算信噪比，对于不同特性的响应值采取不同的信噪比计算公式，最终确定最优的参数组合。

在80年代的日本，三次设计被广泛的使用在电子、化工、钢铁等多个行业[2]，与此同时，我国也逐渐对质量问题重视起来，邀请田口博士讲学，在各地推广田口方法，效果显著。Taguchi博士根据不同的响应的特性，包括望大、望小和望目三种将SN比（信噪比）作为评价参数组合优劣的一种指标[1]：

1.1.1 望大特性信噪比：

1.1.2 望小特性信噪比：

1.1.3 望目特性信噪比：

在1992年的一次针对田口方法的讨论会[3]上，Box提出田口方法的主要目标是在一组实验内得到最优参数组合，但是这不具有代表性;Welch认为在使用田口方法需要进行大量的实验，然而其得到的实验数据却无法代表实际生产过程，并且田口方法也没有考虑因子之间是否存在交互作用;Kacker提到田口参数设计一般情况下无法考虑波动的影响，然而在实际生产过程中，波动是普遍存在的，并且对参数组合有较大的影响;Shoemaker等人提出建立组合表来同时考虑可控因子和噪声因子，可以弥补Taguchi方法的不足;Myers提出Taguchi方法需要在试验之前获得响应值的散落区间的这一缺点。

1.2 基于响应曲面法的稳健参数设计

针对田口方法存在的不足，许多专家学者开始对田口方法进行优化和创新。90年代初期，Shoemaker考虑了因子之间的交互作用，提出了响应曲面法。但是需要在已知存在何种交互作用的基础上才能使用响应曲面法，然而实际操作中，确定交互作用并进行试验是非常复杂的过程。Gunst在响应曲面法中考虑了噪声因子的存在，使得响应曲面法更加贴近实际操作，进而在工业界被广泛使用。（图1）

基于响应曲面法（RSM）的稳健参数设计可以分为双响应曲面法（DRSM）和响应建模法（RMA）。1973年，Myers和Carter提出双响应曲面法，1990年，Vining[4]等人使用该方法来解决参数设计问题，并拟合出二阶多项式模型如式（4）（5）所示：

双响应曲面法的实质是通过重复试验获得多组数据，分别拟合均值和方差两个响应曲面模型，对这两个模型进行优化，得到最优解。该方法从多个方面考虑了误差的作用以及因子之间的相互作用，并且其优化精度也较高。

然而这一方法不可缺少的一部分是对模型进行拟合，而对于因子较多、响应之间具有相关性的情况难以拟合。响应建模法是基于Welch等提出的组合表进行试验设计与建模的一种方法，在1991年，Shoemaker等学者在响应曲面法的基础上，进一步推导出了响应的均值模型和方差模型。响应建模法的优点时，在计算响应的方差模型时，仅以少量的实验数据就能实现，通过建立考虑了噪声因素的响应的均值模型，对该均值模型直接求方差。Copeland等人在1996年提出将双响应问题转化为以次响应为约束条件来优化主响应的问题。李昭阳和韩之俊[5]通过设计正交实验，并且利用计算机技术对噪声因子变化进行仿真模拟，提高了模型的精度。但已有的双响应曲面法存在许多问题，如多数研究集中于提高模型的拟合性，对于当前较为复杂的工艺不适用，因此，崔庆安[6]等人利用支持向量回归机对模型的均值、方差的进行拟合。除了以上的研究，学者们还发现权重在稳健设计中发挥重要的作用，但以往的研究多以实验者的主观想法来确定权重，但这样无法客观的描述实验结果，因此欧阳林寒[7]等学者将熵权理论引用到稳健设计中，并将加权MSE作为优化函数，这一方法同时对均值和标准差进行了优化。伍建军[8]等人将对方差和均值求最优解的问题转化为只求一个综合满意度函数最大值的问题。

1.3 基于广义线性模型的稳健参数设计

随着稳健参数设计在各行业中的使用，学者们发现并不是所有的响应都是服从正态分布的，如产品缺陷率服从泊松分布。对于这些非正态响应问题，无法用响应曲面法对其进行参数设计，因此学者们开始探索解决非正态响应问题的方法。1972年，Nelder等学者提出了广义线性模型。

广义线性模型的构成包括三个部分：

1984年，Pregibon提出将广义线性模型法来处理参数设计非正态响应的问题。McCullagh、Nelder和Myers[9]等人在书中系统的详细阐述了广义线性模型并介绍了该方法在工程领域上的应用。Myers还提出，在一定程度上，广义线性模型法是响应线性模型法的深化，对于响应符合正态分布的情况，其方差利用广义线性模型来构建效果更佳。Lee[11]等学者建立了基于均值与散度的联合广义线性模型对非正态响应进行优化。接着还提出了分层广义线性模型，Robinson[10]等人利用广义线性混合模型描述了产品或过程波动的随机效应。随着工程领域过程的复杂化，相应的构建的模型也越来越复杂，因此传统的优化方法已不再满足需求，因此，需要对其进行深入研究。马彦辉[12]为解决模型较为复杂的问题，对非正态响应的均值和方差函数进行二次泰勒级数展开。汪建均[13]等学者构建了基于GLM的双响应曲面模型，并运用遗传算法与模式搜索相结合对构建的模型寻优。吴刘仓[14]等学者应用最大扩展拟似然估计和最大伪似然估计来解决数据缺失问题。陈夏[15]等人研究了如何使得变量选择和参数估计两个过程同时进行的问题，提出对高维广义线性模型进行拟似然自适应Lasso估计。

2  参数优化方法

参数设计的最后一步就是对参数进行优化，在参数设计的过程中，已经将设计目标转化为可定量分析的某种参数指标，通过优化方法对其寻优，最终得到最优参数组合。

2.1 满意度函数法

为了使满意度函数更加适用于实际情况，1980年，Derringer等学者满意度函数描述为分段式函数，其实质是将每个响应转换成单个的满意度函数，建立综合满意度函数D，最优解就是D的最大值。

式中，di表示第i个响应的个体满意度;Li表示第i个响应的下界;Ui表示第i个响应的上界;Ti表示第i个响应的目标值;指数si和ti决定着满意度函数的凹凸性或者线性。

由于满意度函数法比较简单，被广泛应用在在参数优化中，但是传统的滿意度函数法存在许多不足：①未考虑响应之间的相关性;②未考虑响应的方差—协方差架构;③未考虑参数设计过程中因子容差扰动的影响;④对当前大量存在的实际工程应用中较为复杂的数据进行优化时，效果不佳。Shah[16]指出当响应之间的相关性较大时，满意度函数法得到的结果不准确。Wu[17]探讨了不同响应之间的相关性，并提出将满意度函数和田口损失函数结合来建立优化模型。满意度函数法的最终目标就是为了实现参数组合的稳健性。Lee[18]等人在满意度函数中引入过程能力这一指标来实现过程中所有响应的稳健性。Kim等人[19]利用满意度函数法同时优化了位置、散度模型。何桢[20]用置信区间来作为稳健性的一个衡量标准，考虑了响应的方差-协方差结构，对满意度函数进行了改进。朱鹏飞[21]考虑了因子容差扰动对参数设计的影响，结合遗传算法和模式搜索算法对其进行优化。张流洋[22]提出了同时考虑主观、客观权重对满意度函数进行优化。刘玉敏[23]引入噪声因素对传统的满意度模型进行改进。Salmasnia[24]同时考虑了实际工程中输入和输出之间的关系建立一种基于满意度函数法的新型稳健参数设计。伍建军[25]因此应用熵权理论构建了改进的综合满意度函数，并采用广义降阶梯度法求最优解。

2.2 质量损失函数法

田口博士认为若某产品的质量，仅仅是达到了一般要求，没有达到其最优的状态时，就会有质量的损失，因此田口提出质量损失函数，其表达式如下，其中L（x）表示质量损失，m表示质量特性标准，x表示质量特性值，K为常数表示质量损失系数：

质量损失观点的实质是以定量的方式来质量对顾客造成的损失进行评价，用来评判产品质量的好坏。最初的质量损失集中于单响应研究，但是随着当前实际工程的复杂化，对于质量的研究早已不是集中于单响应。因此学者们提出将多个响应变量描述成一个较为简单的函数，使得质量损失函数法适用于多响应的参数优化，这个简单的函数就是质量损失函数。Khuri、Kapur和Artiles-leon[27]等学者分别通过定义范式距离、泰勒级展开以及无量纲标准化给出了多变量质量损失函数。Ames[26]提出了二次损失函数用来优化模型。有学者认为上述的无量纲标准化的多变量损失函数有以下缺点：①没有考虑多个响应之间的相关性;②该函数不适用于望大、望小的响应。因此马义中[28]等人将无量纲损失函数进行叠加，把三种类型的质量特性合成一个系统，进而通过主成分分析来解决多响应之间的相关性问题。汪建均[29]通过贝叶斯统计建模，利用后验概率方法对质量损失函数进行优化，实现了多变量的稳健性。杨昌明[30]研究了由于期望值异于响应值带来的非对称质量损失问题，引入截尾正态分布理论推导出均值计算公式，解决了该问题，用来Jenoui[31]利用Topsis方法和田口质量损失函数结合来解决模型或者参数等不确定这一问题。Eslamipoor[32]指出过程能力指数（PCI）在工程领域的实用性，评估了已有的PCI方法，他认为损失函数是PCI的重要工具。Nezhad[33]利用Taguchi的对称二次质量损失函数来评估产品质量。

2.3 主成分分析法

主成分分析法（PCA）是由美国统计学家Pearson提出，之后Hotelling在随机变量研究中应用主成分分析法。1997年，Su和Tong应用主成分分析法解决多响应优化问题，其关键步骤就是利用主成分分析法对多响应进行降维。但是该方法在分析过程时，将一些信息筛选出去了，造成最终留下的成分不全面。为克服PCA的这一缺点，Liao[34]提出一种加权的主成分分析法。Shih[35]将Liao提出的方法应用在实际生产过程中，有效的解决了多响应优化问题。但是加权主成分分析法仅仅对均值进行了优化，忽略了稳健性，无法实现稳健参数设计的最终目标。因此何桢[36]等人将PCA与RSM相结合同时优化了响应的均值和标准差。朱连燕[37]将PCA与DEA相结合以优化传统的主成分分析法，有效地解决了响应间的相关性问题。Soh[38]设计了一种基于PCA的核方法，该方法允许在构建单个聚合性能度量时捕获多个特征之间的非线性关系。

2.4 其他优化方法

传统的优化方法还有广义距离函数法、概率法、多元过程能力指数法等。宗志宇[39]等多位学者对几种多响应优化方法进行了比较分析，最终通过实际数据分析得出满意度函数法、概率法的优化效果较好的结论。

传统的响应优化方法多集中于理论上的最优，而对于实际工程中的较多、复杂的参数难以实现全局优化。Myers等学者利用约束优化方法来处理双响应曲面问题，但该方法只能用在当响应在一个凸可行域内对一个凸函数求最小的情况下。Copeland等人使用Nelder-Mead单纯型算法对双响应曲面问题进行优化求解。Ortiz[40]等人引入遗传算法对满意度函数进行优化，较以往的优化方法，遗传算法能实现全局优化。在当前的工程问题中，使用遗传算法以及概率模拟方法等优化算法能够更加高效、准确的实现多响应优化。朱飞宇[41]通过构建BP神经网络模型，实现了响应优化问题到非线性规划问题的转变，进而通过次序二次规划算法进行计算，得到优化结果。张流洋[42]利用混合遗传算法对通过MSN与RSM相结合构建了综合期望损失函数进行优化。汪建均[43]在贝叶斯统计建模的基础上，利用蒙特卡洛模拟方法和混合遗传算法进行计算优化。冯泽彪[44]利用MAP和聚类分析方法实现参数的全局优化。

3  稳健参数设计发展趋势

通过对现有研究的总结和梳理，发现当前稳健参数设计应用领域广泛，如机械、航天航空、生物化工等，经过几十年的发展，其研究也更加深化、科学。由于质量的优劣对于一个产品的影响是非常大的，因此稳健参数设计的研究也会得到不断地发展，通过整理总结主要研究方向有如下三点：①不确定性的研究：在进行稳健参数设计时，往往存在模型、参数或者其他信息的不确定性，在实际测量中往往无法获取某些信息，因此对于不确定形的研究是非常有必要的;②全局研究优化：以往的参数设计往往无法对过程进行全局优化，某一部分的最优无法代表整个体系的最优，因此，当前多数研究都在传统稳健参数设计的基础上结合计算机技术，最终实现全局优化;③稳健性研究：稳健参数设计的最终目标就是实现最优性和稳健性，在多数已有的研究中往往只寻求的部分的最优解，而忽略了对稳健性的研究。

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