王佩其
高考对解析几何的考查,命题一般以“两小一大”的形式出现.“两小”,指两道选择题或填空题,主要考查解析几何的基本运算,难度中等;“一大”,指一道解答题,主要考查圆锥曲线的综合应用,难度较大.
热点1:直线方程
高考对直线方程的考查,一般将问题设置在两直线的位置关系,直线与圆的位置关系等各种位置关系中,难度一般,多为选择题或填空题.
预测题1 经过两条直线2x+3y+1= 0和x-3y+ 4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为
A.4x-3y+9=0 B.-4x+3y+9=0
C.3x-4y+9=0 D.3x+4y+9=0
提示 先求出交点坐标,再将其代入所求方程4x-3y+m=0,求出m.
参考答案 A
热点2:圆的方程
高考对圆的方程的考查目标明确,就是要求考生用待定系数法或几何法直接求出圆的方程,难度一般,多为选择题或填空题.
预测题2 圆C与直线x+y=0及x+y-4=0都相切,圆心在直线x-y=0上,则圆C的方程为______.
参考答案 (x-1)2+(y-1)2=2
热点3:直线与圆的位置关系
高考对直线与圆的位置关系的考查,主要涉及两类问题:一是直线与圆相切,以与切线方程有关的问题为主;二是直线与圆相交,以与弦长有关的问题为主.它们的难度一般,多为选择题或填空题.
预测题3 已知圆O:x2+y2= 4,直线l与圆O相交于点P,Q,且 · =-2,则弦PQ的长度为______.
参考答案 2
预测题4 已知圆C:x2+y2=1,点P为直线 + =1上的一个动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点
A.( , ) B.( , )
C.( ,0) D.(0, )
提示 设点P的坐标为(4-2m,m),写出以PC为直径的圆的方程,再将其与圆C的方程相减,就可得到直線AB的方程,进而求出定点的坐标.
参考答案 B
热点4:圆锥曲线的标准方程
圆锥曲线的方程是高考考查的重点,主要考查圆锥曲线定义的应用和用待定系数法求标准方程,多以选择题、填空题或解答题第一问的形式命题,难度一般.
预测题5 已知椭圆C的中心为坐标原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|= |OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
提示 设椭圆C的右焦点为F ′,则由题意可计算PF ′,再由椭圆的定义可求出2a=PF +PF ′.
参考答案 C
热点5:圆锥曲线的几何性质
高考对圆锥曲线的几何性质的考查大多出现在选择题或填空题中,主要考查椭圆与双曲线的离心率和双曲线的渐近线,试题难度为中等或中等偏上.
预测题6 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于P,Q两点.若∠PAQ=60°,且 =3 ,则双曲线C的离心率为______.
参考答案
热点6:直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线的问题的命题角度主要有两种:一是直线与圆锥曲线的位置关系;二是有关弦的中点、弦长问题.该题有一定的综合性,因而有一定的难度.
预测题7 已知直线l: x-y-a=0与抛物线x2=4y交于P,Q两点,过P,Q分别作l的垂线,与y轴交于M,N 两点.若|MN|= ,则a=
A.-1 B.1 C.-2 D.2
提示 设直线l的倾斜角为θ,点P,Q的横坐标分别为x1,x2,则θ= ,|PQ|=|MN|sin θ=8.再联立方程组,消元后利用韦达定理,可求出a的值.
参考答案 D
预测题8 已知A(-2,0),B(2,0),若在斜率为k的直线l上存在不同的M,N两点,满足|MA|- |MB|=2 ,|NA|-|NB|=2 ,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为
A.-2 B.- C. D.2
提示 先得双曲线方程 -y2 =1,再用点差法求解.
参考答案 D
热点7:圆锥曲线中的最值、范围问题
在高考命题中,圆锥曲线中的最值、范围问题,可能出现在选择题或填空题中,难度中等;也可能出现在解答题中,一般难度较大.
预测题9 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,直线l:x+2y = 4与椭圆有且只有一个交点T.
(Ⅰ)求椭圆C的方程和点T的坐标.
(Ⅱ)O为坐标原点,与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的A,B两点,求△OAB的面积最大时直线l′的方程.
参考答案 (Ⅰ) + =1,(1, ).
(Ⅱ)y= x- 或y= x+ .
热点8:圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题,是近几年高考解答题的必考题型,难度较大.
预测题10 已知抛物线C:y2=4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过点M的直线l与抛物线 C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)若m=1,且直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程.
(Ⅱ)是否存在定点M,使得不论直线l:x=ky+m绕点M如何转动, + 恒为定值?
参考答案 (Ⅰ)(x-3)2+(y-2)2=16.
(Ⅱ)存在定点M(2,0)满足题意.
热点9:圆锥曲线中的存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题,也是近几年高考解答题的常考题型,难度较大.
预测题11 如右图,已知椭圆C: + =1(a>b>0),其左,右焦点分别为F1(-1,0),F2 (1,0),过点F1的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴,y轴分别交于D,E两点,且|AF1|,|F1F2|,|AF2|构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)记△GF1D的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2,是否存在直线AB,使得S1=12S2?說明理由.
提示 (Ⅰ)(略)(Ⅱ)假设存在直线满足条件,将S1=12S2转化为|GD|=2 |OD|.据题意设出直线AB的方程,将其代入椭圆方程后,结合韦达定理和两点间的距离,可得关于直线斜率k的方程,由k的值判断结论是否成立.
参考答案 (Ⅰ) + =1.
(Ⅱ)存在直线AB:y=± (x+1).