类比的方法在数学中的应用

孙爱枝

摘 要：在数学中经常运用类比的方法解决问题。类比是利用两个对象的相似性，由此对象的某些性质和结论猜测乃至证明另一对象的相似性质或结论，由处理此对象的某些方法，利用相似性移植或稍加改动后移植与另一系统，用以处理另一对象的相似性质或结论。由此可见，类比是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。正如著名数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人”虽然类比所得的结论不像演绎推理的结论那样具有逻辑的必然性，其真实性不一定得到保证，但它在数学研究中依然是发现概念，定理，法则和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。学生通过类比新旧知识点能够更加容易地找到解决问题的方法。那么我们应该怎样采取类比的方法进行教学？又该怎样将类比的思想传授给学生提高他们的解题能力，促进他们的创造思维呢？

关键词：内容 概念 性质 方法

一、教师如何在教学中运用类比的方法

1.在教学内容安排上的类比

整数的认识是小学数学中很重要的一部分内容。这部分知识孩子们学习的顺序是：10以内数的认识，11---20各数的认识，100以内数的认识，1000以上大数的认识等，每一阶段知识的呈现方式是相似的，都包括数数，读书，写数，数的组成，數的大小，数的顺序，数的运算等内容，因此学习新数时都可以类比原来的教学步骤。

2.用类比法教学概念

轴对称和轴对称图形是学生比较难理解和区分的概念，但如果我们联系生活实际，把它与学生熟悉的实体进行比较，运用类比的方法进行教学，学生就比较容易理解。可以让学生观察中国民间窗花剪纸，汽车的标志，发现它们的共同性质：沿某条直线对折，两部分能完全重合，这样就容易理解轴对称这个概念。学生通过观察准备的教具，发现一个图形沿着某条直线对折能与另一个图形重合，得到两个图形呈轴对称。教师再进一步通过类比，让学生自主发现它们的区别。从而得到相同点：沿着某条直线翻折，两部分能完全重合；不同点：轴对称图形是一个图形；轴对称是两个图形的一种关系。

再比如由一元一次方程的概念，学生理解了“元”和“次”的意义，从而可以轻松地类比得出二元一次方程，三元一次方程，一元二次方程，一元一次不等式等概念

3.用类比法教学性质定理公式

学生之前学过分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数（0除外）时，分数的大小不发生变化。进而可以推出分式也具备类似的性质。分式的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数或式子（0除外）分式的值不变。分式的性质更一般化，不仅可以乘或除以一个数（0除外），还可以乘以或除以一个式子（0除外）。 这样通过类比可以将知识串成一串，便于学生理解和记忆。

再比如，学生学习了四边形内角和公式的推导：可以作出一条对角线，把四边形分成两个三角形，因为每个三角形的内角和都是180°，所以四边形的内角和为360°。那么学生在学多边形内角和公式的推导时可以类比这个方法：作出n边形过同一个顶点所有对角线，这些对角线将n边形分成n-2个三角形，所以n边形的内角和公式为（n-2）*180°。这样教学充分调动了学生的积极性和自主探究的热情。

二、如何培养学生的类比思想

教师在某些教学环节中运用类比的方法会在潜移默化中培养学生的类比思想，同时学生解答的很多题目的解题方法中也蕴含着大量类比思想。常见类比与探究题有：几何图形的类比拓展与探究，几何图形变换的拓展与探究，类比探究一般会围绕一个不变结构进行考察，常见的结构有：平行结构，直角结构，旋转结构，中点结构。类比是解决类比探究类问题的主要方法，往往会类比字母，类比辅助线，类比结构，类比思路来解决类比探究问题。基本解题思路：审清题干中各种信息，分析和观察图形，学会分解和组合图形，明确图形中的变化信息，类比模仿，从特殊到一般的方法求解证明问题。解决此类问题要注意灵活掌握发散思维，以静制动，建立相应的数学模型。如下面类型的题：

已知：正方形ABCD中，角MAN=45度，角MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N。当角MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图），线段BM，DN，MN之间的数量关系为（）