立足本源，融会贯通

董文彬

北师大版小学数学教材中常常有一些数学思考性很强的问题，它们的基本特征是拓展性和开放性，与“四基”密切相关。教师知道这些题目对激发学生的探究兴趣，培养学生的数学思考能力有很大作用，但又纠结于学生的思维水平差异较大，指导上有困难。因此有的教师干脆将这些问题作为弹性作业布置，课堂上也不进行引导，任学生自由发展;有的教师在课堂上机械地反复讲、练，直到学生形成解题“套路”。这些皆与儿童的数学理想学习相距甚远。

这些习题怎么处理？要不要拓展为课堂教学？怎样拓展？笔者在思考的基础上，对北师大版数学教材三年级下册一类思维题进行了教学实践与尝试。

一、审题：明晰问题条件和要求

出示“问题1”：王老师为小朋友们准备了一张长32厘米、宽15厘米的长方形彩纸，最多可以剪成多少张边长是2厘米的正方形纸？

师：这道题目已知哪些条件或信息，要解决什么问题？

生：知道长方形纸的长是32厘米，宽是15厘米，还知道要剪的正方形边长是2厘米。要解决的问题是长方形纸中最多能剪多少个正方形。

师： “最多”是什么意思？

生：因为从长方形纸上可以剪一个、两个，还可以剪很多个，“最多”就是最大限度的意思。

生：就是尽可能把这张长方形纸都用上。

[思考：三年级学生虽然有一定的解题经验，但考虑到其数学理解的差异性，教师有必要在教材静态呈现题目的基础上配附实物图;引导其如何审题，明确已知信息、条件及所要解决的问题，分析关键词，帮助学生积累审题的经验。]

二、交流：悟辨解决问题的策略

（师出示提示要求）

自主探究提示：

1.独立思考尝试解决。

2.如有需要，可以借助桌面上的长方形纸画一画、剪一剪，帮助自己思考。

3.尽可能翔实地写出你的思考过程。

师：接下来按提示要求，请你思考解决。（生尝试解决，师巡视指导。之后展示学生的学习成果）

生：我是这样想的：先计算出长方形纸的面积32×15=480（平方厘米），再计算出小正方形的面积2×2=4（平方厘米），长方形纸上能剪几个这样的正方形就看长方形的面积里有几个正方形的面积，有几个就能剪几个，列式为480÷4=120（个），所以最多能剪120个。我的想法大家听懂了吗？

师：还有谁和他一样也是这么想的？（教室里有21名学生举手）

生：我的思考和他不一样，答案也不一样。我是这样想的：先看长方形纸的一行能剪几个正方形，也就是看32里有几个2，列式是32÷2=16（个）。再看一列能剪几个，也就是15里有几个2，列式是15÷2=7（个）……1。然后用16×7=112（个），所以我的结论是最多能剪112个。

师：谁听懂了他的想法？

生：他的思路和我的一样。我就是这样一行一行剪的，先看一行能剪几个，对应着也就是长方形的长里有几个正方形的边长，再看能剪几行，就是宽的方向能剪出几个，对应着就是长方形的宽里有几个正方形的边长。然后用“一行的个数”乘“行数”就是最多能剪出的正方形的总个数了。

生：可是这两种思路都对吗？如果都对，那为什么最后的结论又不一样呢？

师：这个问题提得好！这是怎么回事？

生：我觉得应该有一种方法是不对的。

师：对比这两种解决问题的方法，看看问题出在哪儿？（教室里安静下来）

生：我认为第一种方法是错的，第二种才是对的。我是按第二种思路剪的，发现一行能剪16个，能剪7行，也就是一共最多能剪16×7=112个。但剪完后发现还剩余一条纸，也就是说这张纸没有被完全利用，有浪费。而第一种方法用长方形的面积除以正方形的面积，算完后可以看出整张长方形纸全部被使用了，没有浪费。但实际在剪的时候是有浪费的，所以第一种方法是错的。

生：我同意你的想法。我们实际剪的时候的确是按照第二种方法剪的，结果也确实是剩余了一条纸。

生：我明白了！按照大面积除以小面積这种方法算出的答案120个，是一种很理想的剪法，没有浪费纸，而在实际剪的时候长方形纸没有被完全使用，是有浪费的。所以第一种方法是错的。

[思考：提供长方形纸学具，关注学生的学习需求和学习差异，通过画一画、剪一剪等实际操作，能帮助学生探究思考。学生原生态的两种思路与方法，需要在交流和分享中辨析感悟。学生认为“长方形的面积里包含有几个正方形的面积，就能从长方形里剪几个正方形”，这是理想化的想法，而实际操作并非如此，如果真要去剪（要使剪出的正方形数量最多），应该是“一行一行”（或“一列一列” ）地剪，先看一行（或一列）能剪几个，再考虑能剪几行（或几列）。教学中要启发学生，解决问题时既要有数学思考，也要联系实际现实。]

生：可是为什么第一种方法比第二种多剪出了8个呢？

师：是啊，多剪出了8个正方形，多在了哪儿呢？

生：实际剩余的那条纸也是长方形的，长是32厘米，宽是1厘米，面积是32×1=32平方厘米，而要剪出的正方形面积是4平方厘米，32÷4=8个，按照第一种方法，剩余的那条长方形纸里正好能剪出8个正方形，就是多剪出的那8个。

生：我和你的想法一样。第一种方法是把剩余的那条长方形纸也给剪了，是重新对拼后剪的。对拼后，这条长方形纸就变成了长16厘米宽2厘米的，剪边长是2厘米的正方形正好能剪出8个。而实际中是不能这样对拼之后再剪的。

生：我是这样想的。首先直接在原来的长方形纸上画边长是1厘米的小方格，一行正好画出32个，正好画出15行，一共画出了32×15=480个方格。而边长是2厘米的正方形面积是2×2=4平方厘米，也就是说一个这样的正方形包含4个边长是1厘米的小方格。然后我再把4个小方格重新画一组，一组就是一个要剪的正方形，这样画下去，一行正好能画出16个，画出7行后还剩下一行32个边长是1厘米的小方格，但这些小方格不能再重组了，就剩下了。所以最后只能剪出16×7=112个正方形。

生：哦——我明白了！剩下的32个边长是1厘米的小方格面积正好是32个1平方厘米，也就是32平方厘米，和前面剪剩的那条长32厘米、宽1厘米的长方形纸大小正好对上。这32平方厘米的纸，如果按照前面第一种方法正好还能剪出8个正方形，但这只是假想的，实际中根本剪不出来。

（教室里响起掌声）

师：非常好！我们不但知道第一种解决方法不正确，而且还通过各种方式找到了错误背后的根源，这样的交流很有价值。

[思考：学生提出的两种策略剪出的正方形“为什么差8个，差在哪”，完全在我的预料之外。沿着学生的思维拾级而上，教师不但让学生在化错中找到错误的根源，而且让他们再次体会到了“用大面积除以小面积”这种方法在实际操作中并不一定可行。]

三、提升：贯通联系完善认知

出示“问题2”： 一张长32厘米、宽16厘米的长方形彩纸，最多可以剪成边长是2厘米的正方形纸多少张？

师：这道题目能用“大面积除以小面积”的方法解决吗？

生：我用第二种方法算，一行能剪出32÷2=16个，能剪16÷2=8行，所以正好能剪16×8=128个。

生：我用第一种方法算，长方形面积32×16=512平方厘米，小正方形面积是2×2=4平方厘米，512÷4=128个，算出来也是128个，说明第一种方法也是可行的。

师（疑惑）：这里为什么用“大面积除以小面积”的方法也可以解决？

生：因为如果用长方形的长和宽分别除以正方形的边长，我们发现正好都除尽了，没有余数。

师：谁听懂了他的想法，“都除尽了，没有余数”是什么意思？

生：32÷2=16，表示一行正好能剪16个正方形，说明长方形纸在长的方向上没有剩余，16÷2=8，表示能正好剪8行，说明长方形纸在宽的方向剪完8行后也没有剩余。也就是说这张纸在剪正方形时没有任何浪费，全部都被用上了。

生：对！前面讨论的用“大面积除以小面积”的方法只有在没有任何剩余纸的情况下才能适用。

师：非常好！那大家想一想，什么情况下“大面积除以小面积”的思路才适用于解决这类问题？

生：当长方形的长和宽都是正方形的边长的整倍数时，前面两种方法都可以解决。

生：用长方形的长和宽分别去除以正方形的边长，正好都能被整除时，“大面积除以小面积”这种方法才适用。

生：我还有一个发现。当要剪的正方形是面积单位的时候也属于这种情况。你看啊，当正方形的邊长是1厘米时，不管是用长方形的长还是宽去除以边长，肯定能除尽啊，因为任何一个整数都能被1整除。

（教室里再次响起掌声）

师：太棒了！你们对问题的认识和思维水平又提升了。

[思考：变换题目中的条件信息，让学生认识到“用大面积除以小面积”的方法也能解决问题。学生通过认知冲突，互动交流，思考背后的原因和道理，贯通两种方法之间的联系，再度对两种方法进行深入对比、思辨，厘清认识。只有当用长方形的长和宽分别去除以正方形的边长，正好都能被整除时，“大面积除以小面积”这种方法才适用。最终形成解决此类问题的策略。]

四、拓展：联系生活应用知识

课件出示：淘气家准备在厨房的地面上铺地砖，有以下几种尺寸的地砖，选择哪种可以不用损坏地砖而正好铺满？需要这种地砖多少块？

生解答展示（略）。

[思考：数学学习贵在建立关联，建立关联有两种途径，一是数学知识内部的关联，二是数学本身与现实生活的关联。拓展部分设计“铺地砖”旨在加深学生对数学与现实生活的关联意识，感受数学的有根、有用、有法、有趣。]

（北京市中关村第一小学  100190）