杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思

李华坤

二项式定理是数学计算方块中处于举足轻重的位置，长期以来，针对它的初中教学，仍然还存在一些问题不尽人意。首先是否展开二项式乘方展开式的教学，因为这部分的内容在人教版八年级数学上册113页，属于阅读与思考的内容，部分老师留给学生自学，没有正式教学。其次二项式乘方展开式情景的创设，大多只注重怎么套用杨辉三角，例如，直接告诉学生杨辉三角是我们确定二项式展开式的各项系数，没有真正深入杨辉三角的学习以及应用，难以让学生触及杨辉三角本质，使随后按定义写出二项式展开式的教学，有从天而降的感觉。有的老师试图矫正这一弊端，通过（a+b）n，当n=1，2，3......，从而得出二项式乘方展开式的系数规律，进而分析其中与杨辉三角的联系，但知情者明白，这仅是教师利用二项式乘方展开式玩的一个游戏而已，学生却必生“为什么要和杨辉三角扯上关系”的困惑，却往往不符合大多学生的思维起点，除了生拉硬拽，几乎别无它途。整个教学过程不够连贯，不能一气呵成。

针对这些问题，对二项式定理教学进行了大胆的改进，即采用课本113页的阅读，引入杨辉三角，然后充分调动杨辉三角的直觉，合理建立与二项式乘方展开式的联系，并反复利用多项式乘以多项式法则，顺利解决了杨辉三角与二项式定理生拉硬拽的问题，取得理想的教学效果，并为教学奠定了坚实基础。

一、杨辉三角融入二项式定理的教学实践

1.创设情景——提出问题

初中生已经对（a+b）0，（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3有丰富的计算经验，那么（a+b）n又如何写出它的展开式呢？引导学生讨论之后，教师将上述问题归结为系数和次数问题，由此引入杨辉三角课题。

2.意义建构——感知杨辉三角

杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和。事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律。例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的各项的系数;第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等[1]。

初中数学不需要太深入去理解二项式每个系数的计算方法，但是我们二项式系数是在杨辉三角的基础上发展起来的，我们必须知道杨辉三角在二项式计算所起的作用，杨辉三角能帮助我们确定二项式展开式的各项的系数。

3.形成理论——建立定义

如何正确写出二项式展开式？

杨辉三角已经帮助我们确定展开式的各项系数，a的次数从第一项开始次数为二项式的最高次数，然后下一项次数依次减少1，直到次数为0.然而b的次数从第一项开始为0，然后下一项次数依次增加1，直到次数为二项式的最高次数，这样我们就能很快速正确写出二项式展开式。

4.巩固定义——深化杨辉三角

讨论：

你能利用杨辉三角（图3），正确写出（a+b）6的展开式吗？

（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

5.培养学生情感、态度和价值观

杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题。原来，这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15。杨辉看到这个算题， 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也见过。杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，兩人终于将算式摆出来了。

后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的？”老先生说不知道。

杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：先把l～9九个数依次斜排，再把上l下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。

杨辉研究出三阶幻方（也叫络书或九宫图）的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。

二、文化融入教学后的反思

英国科学史家丹皮尔（W.C.Dampier）曾经说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”。数学是历史最悠久的人类知识领域之一：从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明;从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。

当然，仅仅具有魅力并不能成为开设一门课程的充分理由。数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身，还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义。因此，可以说不了解数学史就不可能全面了解数学科学。

杨辉三角经历接近一千年时间数学家的努力，利用巧妙的方法，获得精彩的成果。教学中仅一节课就完成知识学习任务，但还有许多有教育意义的内容都由于初中数学不作要求，所以留到高中数学作为一篇章节进行深入学习。课本中的字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。而学生一旦认识到这些，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地探究问题的勇气。