杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思

2019-07-16 07:27李华坤
学校教育研究 2019年12期
关键词:二项式孩童次数

李华坤

二项式定理是数学计算方块中处于举足轻重的位置,长期以来,针对它的初中教学,仍然还存在一些问题不尽人意。首先是否展开二项式乘方展开式的教学,因为这部分的内容在人教版八年级数学上册113页,属于阅读与思考的内容,部分老师留给学生自学,没有正式教学。其次二项式乘方展开式情景的创设,大多只注重怎么套用杨辉三角,例如,直接告诉学生杨辉三角是我们确定二项式展开式的各项系数,没有真正深入杨辉三角的学习以及应用,难以让学生触及杨辉三角本质,使随后按定义写出二项式展开式的教学,有从天而降的感觉。有的老师试图矫正这一弊端,通过(a+b)n,当n=1,2,3......,从而得出二项式乘方展开式的系数规律,进而分析其中与杨辉三角的联系,但知情者明白,这仅是教师利用二项式乘方展开式玩的一个游戏而已,学生却必生“为什么要和杨辉三角扯上关系”的困惑,却往往不符合大多学生的思维起点,除了生拉硬拽,几乎别无它途。整个教学过程不够连贯,不能一气呵成。

针对这些问题,对二项式定理教学进行了大胆的改进,即采用课本113页的阅读,引入杨辉三角,然后充分调动杨辉三角的直觉,合理建立与二项式乘方展开式的联系,并反复利用多项式乘以多项式法则,顺利解决了杨辉三角与二项式定理生拉硬拽的问题,取得理想的教学效果,并为教学奠定了坚实基础。

一、杨辉三角融入二项式定理的教学实践

1.创设情景——提出问题

初中生已经对(a+b)0,(a+b)1,(a+b)2,(a+b)3有丰富的计算经验,那么(a+b)n又如何写出它的展开式呢?引导学生讨论之后,教师将上述问题归结为系数和次数问题,由此引入杨辉三角课题。

2.意义建构——感知杨辉三角

杨辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和。事实上,这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律。例如,此三角形中第3行的3个数1,2,1,恰好对应着(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的各项的系数;第4行的4个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数,等等[1]。

初中数学不需要太深入去理解二项式每个系数的计算方法,但是我们二项式系数是在杨辉三角的基础上发展起来的,我们必须知道杨辉三角在二项式计算所起的作用,杨辉三角能帮助我们确定二项式展开式的各项的系数。

3.形成理论——建立定义

如何正确写出二项式展开式?

杨辉三角已经帮助我们确定展开式的各项系数,a的次数从第一项开始次数为二项式的最高次数,然后下一项次数依次减少1,直到次数为0.然而b的次数从第一项开始为0,然后下一项次数依次增加1,直到次数为二项式的最高次数,这样我们就能很快速正确写出二项式展开式。

4.巩固定义——深化杨辉三角

讨论:

你能利用杨辉三角(图3),正确写出(a+b)6的展开式吗?

(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

5.培养学生情感、态度和价值观

杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官,一次外出巡游,碰到一孩童挡道,杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题,杨辉一听来了兴趣,下轿来到孩童旁问是什么算题。原来,这个孩童在算一位老先生出的一道趣题:把1到9的数字分行排列,不论竖着加、横着加,还是斜着加,结果都等于15。杨辉看到这个算题, 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也见过。杨辉想到这儿,和孩童一起算了起来,直到午后,兩人终于将算式摆出来了。

后来,杨辉随孩童来到老先生家里,与老先生谈论起数学问题来。老先生说:“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。”杨辉听了,这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生:“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知道。

杨辉回到家中,反复琢磨。一天,他终于发现一条规律,并总结成四句话:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”。就是说:先把l~9九个数依次斜排,再把上l下9两数对调,左7右3两数对调,最后把四面的2、4、6、8向外面挺出,这样三阶幻方就填好了。

杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后,又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中,杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明,四阶以上幻方,杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误,可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。

二、文化融入教学后的反思

英国科学史家丹皮尔(W.C.Dampier)曾经说过:“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”。数学是历史最悠久的人类知识领域之一:从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明;从量地测天到抽象严密的公理化体系,在五千余年的数学历史长河中,重大数学思想的诞生与发展,确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。

当然,仅仅具有魅力并不能成为开设一门课程的充分理由。数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身,还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义。因此,可以说不了解数学史就不可能全面了解数学科学。

杨辉三角经历接近一千年时间数学家的努力,利用巧妙的方法,获得精彩的成果。教学中仅一节课就完成知识学习任务,但还有许多有教育意义的内容都由于初中数学不作要求,所以留到高中数学作为一篇章节进行深入学习。课本中的字斟句酌的叙述,未能表现出创造过程中的斗争、挫折,以及在建立一个可观的结构之前,数学家所经历的艰苦漫长的道路。而学生一旦认识到这些,他将不仅获得真知灼见,还将获得顽强地探究问题的勇气。

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