基于混合基的稀疏表示响应面构建方法

王科峰

摘要：随着现代产品的仿真模型求解时间也越来越长，响应面可用来替代仿真模型，减少仿真时间。稀疏表示响应面则是利用稀疏表示的思想，寻找仿真模型在基函数上的稀疏表示，可通过较少的采样点构建高精度的稀疏表示响应面，从而替代仿真模型，提高仿真效率。但是复杂产品种类繁多，特征各異，其仿真模型很难在单一基函数上找到稀疏表示。本文将以多种多项式组合成的集合作为基函数集，提高基函数的表达能力，然后基于模拟退火的全局收敛思想，在给定基函数挑选个数的前提下，找到最优的基函数组合来对仿真模型进行稀疏表示。同时引入二分法的思想，调整构建响应面的基函数的个数，从而构建一个足够稀疏且高精度的响应面。

关键词：响应面;稀疏表示;仿真优化

中图分类号：TP393      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）15-0277-02

面对机电产品市场的激烈竞争，制造企业必须不断地提高其设计效率，同时保证产品质量，以满足多元化的市场需求。对于复杂机电产品 （如飞机、汽车以及船舶等） 的设计，其本质上是一个涉及多学科、多目标以及“昂贵”仿真的优化过程[1]，例如，有限元分析 、计算流体动力学分析以及多体动力学仿真等。但是随着产品设计越来越复杂，仿真模型的复杂度和规模也不断增加，仿真分析的时间进一步拉长。

针对复杂产品的仿真模型计算时间长、效率低等问题，可以用响应面或代理模型的方法来替代计算密集的仿真模型，从而大大降低仿真优化时间，缩短产品的研发周期。常用的响应面模型有：多项式响应面、kriging响应面、径向基函数响应面，支持向量机等。通过计算机仿真采样，寻找设计变量和响应值之间的内在关系，即可构建响应面来代替复杂的仿真模型。同时，响应面是基于采样点数据构造的，而采样点的估值彼此独立，所以可通过并行计算进行仿真分析，快速得到其响应值，因此响应面方法可以极大地提高机电产品的优化设计效率。越复杂的响应面所需的采样点个数越多，调用仿真模型进行采样的次数也更多。为了进一步提高仿真优化效率，引入稀疏表示理论。

稀疏表示理论[3]指的是将函数（或信号）投影到基函数空间时，大部分基函数系数的量级很小，只有少数几个基函数系数的量级较大，也就是说使用少量的基函数即可完全重构该函数（或信号）。类似地，可以把仿真模型看作源模型，选择一组合适的基函数，使得黑箱函数在这组基函数下具有稀疏表达。一方面，可以根据采样点的多少适当增减基函数的数目，以增强基函数对源模型的表达能力;另一方面，利用稀疏表达理论，剔除冗余的基函数，防止产生过拟合现象。这样，便可以为源模型构造一个更加精确的逼近模型。范才彬等[4]基于稀疏表示理论提出稀疏表示响应面，只选取少量对描述设计变量和响应值之间的关系有重要作用的基函数来构建响应面，因此，计算基函数系数所需的采样点也相应减少，同时在一定程度上减少了过拟合现象，提高响应面的精度。但是稀疏表示响应面采用单一多项式作为基函数，这使得一些特征复杂多样的仿真模型很难在单一基函数上找到其稀疏表示。

因此，本文将多种多项式进行组合，得到混合基函数集，以混合基函数集的所有多项式作为基函数，使得基函数的特征更加丰富，提高响应面对复杂仿真模型的逼近能力。利用模拟退火的全局收敛特性，不断挑选用于构建响应面的基函数，使得不断有新的基函数用于构建响应面。在给定基函数挑选个数[S]的情况下，找出构建的响应面的预测精度最高的[S]个基函数组合。同时，由于仿真模型在基函数集上的稀疏度未知，在挑选基函数的时候引入二分法的思想，不断调整挑选基函数的个数，以达到构建一个高稀疏、高精度的响应面的目的。

1稀疏表示响应面的数学模型

2响应面构建

本文所述方法利用了二分法和模拟退火的思想，模拟退火旨在给定基函数挑选个数[S]的情况下，找出构建的响应面的预测精度最高的[S]个基函数组合。同时，由于稀疏度未知，在外循环利用二分法的思想，适当地减少或增加挑选个数[S]，使得构建的稀疏表示响应面既足够稀疏又具有较高的精度。

由二分法得到最优基函数组合[Abest]之后，使用最小二乘法计算基函数的系数[β]，最终得到稀疏表示响应面如下：

本文提出了一种基于模拟退火的稀疏表示响应面的构建方法，利用模拟退火和二分法的思想，找到仿真模型在混合基上的稀疏表示，从而构建一个高精度的稀疏表示响应面。对于在单一基上无法精确逼近的复杂仿真模型，本文所提的构建方法将有一定的参考意义。

参考文献：

[1] 张萌，陈晓云.基于稀疏表示模型的显著目标检测[J].福建大学学报（自然科学版），2019，4（7）.

【通联编辑：光文玲】