三角函数法对同方向同频率简谐振动合成的求解

张旸

【摘 要】本文运用三角函数方法，对同频率同方向简谐振动的合成做了计算，结果与通常使用矢量图示法得出的结论一致。

【关键词】简谐振动;矢量图示法;三角函数法

【中图分类号】O436.1       【文獻标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）15-0009-01

在医用物理学的教学中，振动和波相关章节是十分重要的内容。因为波是自然界十分普遍的运动形式，不同性质的波在医学不同领域获得了重要应用，如超声波、次声波、X射线、γ射线等等。波的干涉是波与波相互作用的特殊情况，在理论和应用上都有重要意义。而干涉的理论基础就是同方向同频率简谐振动的合成。

多数教材对简谐振动合成的计算采取了矢量图示的方法[1][2]。借助简谐振动与一个旋转矢量的对应关系，将简谐振动直接合成的问题转化为对应的矢量合成的问题，具有直观性，物理图景清晰，计算过程也十分简洁。

是否可以不用矢量图示法而直接用三角函数方法进行计算呢？可以想象，计算过程会比矢量图示法复杂，但是它没有利用简谐振动与一个旋转矢量的对应关系，比较直截了当，数学味较浓。下面给出三角函数法对简谐振动合成问题的推导。

设两个同方向同频率简谐振动的函数分别为：

x1=A1cos（ωt+φ1），x2=A2cos（ωt+φ2）

其中x1，x2表示两个独立分振动的位置坐标，A1，A2表示两独立分振动的振幅，ω为共同的振动频率，φ1φ2表示各自的初相位。

由运动的叠加原理，合成振动为：

x=x1+x2=A1cos（ωt+φ1）+A2cos（ωt+φ2）（1）

由公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，（1）式可化为：

x=A1（cosωtcosφ1-sinωtsinφ1）+A2（cosωtcosφ2-sinωtsinφ2）（2）

整理，可得

x=cosωt（A1cosφ1+A2cosφ2）-sinωt（A1sinφ1+A2sinφ2） （3）

对形如x=Acosα-Bsinα  的表达式，根据三角函数知识可化为：

Acosα-Bsinα=〖KF（〗A2+B2〖KF）〗cos（α+θ），其中θ满足

sinθ=B〖〗〖KF（〗A2+B2〖KF）〗        cosθ=A〖〗〖KF（〗A2+B2〖KF）〗   tanθ=B〖〗A

因此，（3）式可化为

x=Acos（ωt+φ） （4）

其中〖XC1.JPG;%21%21〗（5）

φ=tan-1（A1sinφ1+A2sinφ2〖〗A1cosφ1+A2cosφ2）（6）

（4）、（5）、（6）三式表明，合成振动依然是一个简谐振动，振幅与初相分别满足（5）、（6）两式。

由（5）、（6）两式可知，1.三角函数方法与矢量图示法得出的结论完全一致，它从理论上验证了矢量图示法的结果。2.计算过程的复杂程度比想象的要小，几乎只是拼凑两角之和的三角函数，就证明了合振动依然是一个简谐振动，而且得出了振幅与初相位。3.不需要作图，用纯代数办法处理，思路简单而直接。

综上所述，在教学中可以适当介绍三角函数法，让同学们比较两种方法的优劣，加深对简谐振动合成公式的理解。而对相关的数学计算也会更熟悉，感受数学与物理之间的联系，提高学习兴趣。

参考文献

[1]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程-力学（第二版）.高等教育出版社，2004.

[2]胡新岷，王磊，冀敏，李晓春，吴明海.医学物理学（第八版）.人民卫生出版社，2017.