三角函数法对同方向同频率简谐振动合成的求解

2019-07-15 03:32张旸
课程教育研究·学法教法研究 2019年15期

张旸

【摘 要】本文运用三角函数方法,对同频率同方向简谐振动的合成做了计算,结果与通常使用矢量图示法得出的结论一致。

【关键词】简谐振动;矢量图示法;三角函数法

【中图分类号】O436.1       【文獻标识码】A

【文章编号】2095-3089(2019)15-0009-01

在医用物理学的教学中,振动和波相关章节是十分重要的内容。因为波是自然界十分普遍的运动形式,不同性质的波在医学不同领域获得了重要应用,如超声波、次声波、X射线、γ射线等等。波的干涉是波与波相互作用的特殊情况,在理论和应用上都有重要意义。而干涉的理论基础就是同方向同频率简谐振动的合成。

多数教材对简谐振动合成的计算采取了矢量图示的方法[1][2]。借助简谐振动与一个旋转矢量的对应关系,将简谐振动直接合成的问题转化为对应的矢量合成的问题,具有直观性,物理图景清晰,计算过程也十分简洁。

是否可以不用矢量图示法而直接用三角函数方法进行计算呢?可以想象,计算过程会比矢量图示法复杂,但是它没有利用简谐振动与一个旋转矢量的对应关系,比较直截了当,数学味较浓。下面给出三角函数法对简谐振动合成问题的推导。

设两个同方向同频率简谐振动的函数分别为:

x1=A1cos(ωt+φ1),x2=A2cos(ωt+φ2)

其中x1,x2表示两个独立分振动的位置坐标,A1,A2表示两独立分振动的振幅,ω为共同的振动频率,φ1φ2表示各自的初相位。

由运动的叠加原理,合成振动为:

x=x1+x2=A1cos(ωt+φ1)+A2cos(ωt+φ2)(1)

由公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,(1)式可化为:

x=A1(cosωtcosφ1-sinωtsinφ1)+A2(cosωtcosφ2-sinωtsinφ2)(2)

整理,可得

x=cosωt(A1cosφ1+A2cosφ2)-sinωt(A1sinφ1+A2sinφ2) (3)

对形如x=Acosα-Bsinα  的表达式,根据三角函数知识可化为:

Acosα-Bsinα=〖KF(〗A2+B2〖KF)〗cos(α+θ),其中θ满足

sinθ=B〖〗〖KF(〗A2+B2〖KF)〗        cosθ=A〖〗〖KF(〗A2+B2〖KF)〗   tanθ=B〖〗A

因此,(3)式可化为

x=Acos(ωt+φ) (4)

其中〖XC1.JPG;%21%21〗(5)

φ=tan-1(A1sinφ1+A2sinφ2〖〗A1cosφ1+A2cosφ2)(6)

(4)、(5)、(6)三式表明,合成振动依然是一个简谐振动,振幅与初相分别满足(5)、(6)两式。

由(5)、(6)两式可知,1.三角函数方法与矢量图示法得出的结论完全一致,它从理论上验证了矢量图示法的结果。2.计算过程的复杂程度比想象的要小,几乎只是拼凑两角之和的三角函数,就证明了合振动依然是一个简谐振动,而且得出了振幅与初相位。3.不需要作图,用纯代数办法处理,思路简单而直接。

综上所述,在教学中可以适当介绍三角函数法,让同学们比较两种方法的优劣,加深对简谐振动合成公式的理解。而对相关的数学计算也会更熟悉,感受数学与物理之间的联系,提高学习兴趣。

参考文献

[1]赵凯华,罗蔚茵.新概念物理教程-力学(第二版).高等教育出版社,2004.

[2]胡新岷,王磊,冀敏,李晓春,吴明海.医学物理学(第八版).人民卫生出版社,2017.