基于三点法拦截几何的导弹滑模制导律设计

董飞垚

(空军西安飞行学院,陕西 西安 710306)

三点法制导律因其技术实施简单,抗干扰性能好等优点被广泛应用于各种战术导弹系统中,其导引弹道求解有诸多方法,如数值积分法、解析法和图解法等[1]。针对非机动目标拦截的三点法制导律研究,文献[2-3]给出了铅垂面内导弹三点法制导律的解析解,得到导弹位置的解析表达式;针对机动目标的三点法制导律研究,文献[4]进行了三维运动学弹道建模与仿真,解决了三点法弹道求解的问题,但上述方法均不能给出制导律所对应的导弹过载指令,这大大限制了三点法制导律的全弹道仿真验证;此外,传统三点法制导律的实现大多都基于波束制导体制,利用导弹偏离雷达波束或激光的误差进行控制,这种方法的弊端是由于测量偏离误差存在滞后,针对高速机动目标的拦截,脱靶量将会增大。针对机动目标拦截,文献[5]基于三点法思想设计了一种制导律,但其核心在于视线角速率的引入,同时对制导信息的获取也提出了较高要求。

滑模变结构控制因具有强鲁棒性近年来已被广泛应用于制导律研究中[6-8],基于此,本文利用三点法拦截几何,设计了一种滑模制导规律。选取导弹高低角与目标高低角之差、导弹方位角与目标方位角之差以及其微分作为滑模面参数,根据快慢回路要求,利用极点配置得到滑模面参数,最后给出滑模制导律的表达式,并基于Lyapunov稳定性理论进行了稳定性证明。仿真结果表明,所设计的制导律能确保导弹实时位置点、目标实时位置点和导弹初始位置点这三点始终在一条直线上,导弹过载指令变化平缓,符合工程实际要求。

1 三点法弹目拦截几何

图1 弹目拦截几何关系

为便于描述,以(xm,ym,zm)来表示导弹在地面坐标系下的位置,(vxm,vym,vzm)表示导弹速度沿地面坐标系各轴的分量,(axM,ayM,azM)表示导弹加速度沿速度坐标系各轴分量,(axm,aym,azm)表示导弹加速度沿地面坐标系各轴分量,εm为导弹高低角,βm为导弹方位角,θVM为导弹弹道倾角,ψVM为导弹弹道偏角。带下标m和M的量分别表示导弹在地面坐标系和导弹速度坐标系下的相关值,带下标t和T的量分别表示目标在地面坐标系和目标速度坐标系下的相关值。坐标系定义参考文献[1]。

三点法制导律的核心思想是导弹在飞向目标过程中,导弹、目标和制导雷达(制导站)始终在一条直线上,基于图1所描述的几何关系,三点法制导律的核心思想还可描述为:导弹在整个飞行过程中,其高低角εm始终等于目标的高低角εt,其方位角βm始终等于目标的方位角βt,即:

(1)

由式(1)可以看出,三点法制导律的数学模型是基于地面坐标系的,而描述导弹和目标的加速度(过载)通常都在各自速度系下进行描述,因此为得到过载指令即制导律的数学表达式,需根据二者间的转换矩阵,进行速度矢量和加速度矢量的相应转换。

(2)

(3)

导弹加速度沿地面坐标系各轴的分量(axmaymazm)T为

(4)

(5)

进而得到地面系下目标的速度矢量(vxtvytvzt)T为

(6)

地面系下目标的加速度矢量(axtaytazt)T为

(7)

根据地面坐标系下导弹高低角和方位角的定义:

(8)

式中:atan2函数为根据输入的2个参数,输出对应[0,2π]范围内角度的函数,具体定义可见Matlab的Math库函数。

式(8)两边均对时间求导得:

(9)

同理,给出目标高低角和方位角表达式为

(10)

上式两边均对时间求导,得:

(11)

对上式两端求导,得:

(12)

(13)

2 滑模制导律设计

(14)

选取滑模面S=(s1s2)如下所示:

(15)

式中:c1>0,c2>0,值的大小根据极点配置,使其动态特性远小于内回路(控制回路)的动态特性。

对式(15)两端求导可得:

(16)

选择指数型趋近律:

(17)

式中:k1>max(|ayM|,|azM|),k2>0。

联合式(16)与式(17)可得:

(18)

(19)

式中:

3 稳定性分析

选取Lyapunov函数如下所示:

(20)

对式(20)两端求导得:

(21)

将式(17)代入上式得:

4 仿真及结果分析

(22)

式中:Δ称为“边界层”,仿真中Δ取值为0.000 1。

仿真结果显示，脱靶量0.393 m，导弹飞行时间为22.656 s，对应拦截曲线和过载指令如图2～图5所示。其中，图2～图4中的5条虚线是为验证弹道是否严格符合三点法的规律而绘制，绘制时分别选择仿真时间t=0，4.5 s，9.0 s，13.5 s，18 s时的导弹和目标的位置点与坐标原点连线，可以看出，在整个拦截过程中，保证了发射点、导弹和目标始终在一条直线上；从图5可以看出，整个拦截过程中，导弹的制导指令变化较为平缓，能满足执行机构的要求。

图2 Oxy平面弹道曲线

图3 Oxz平面弹道曲线

图4 三维弹道曲线

图5 导弹制导指令

5 结束语

基于三点法拦截几何,设计了一种滑模制导律,通过数值仿真对其有效性进行了验证。结果表明,该制导律保证了导弹在整个飞行过程中严格符合三点法的拦截几何,且导弹过载指令变化平缓,对三点法全弹道数值仿真具有较强的实用价值。