一年级学生等号概念的错误分析及教学对策

顾新辉

等号对于理解算术或代数问题而言，是一种内涵丰富的符号概念，是学生理解的一個难点，这是原有的或固有的思维定式对学生造成的影响[1]。一年级各种版本教材中对等号的处理，以及《义务教育数学课程标准（2011年版）》第二学段的目标要求，都表明等号扮演着极为重要的角色。因此，本文试图探讨一年级学生等号概念学习的易错点，阐明等号概念的意义所在，并且给出教学对策。

一、学生等号概念理解错误的主要类型

1.等号表示等式左边的答案

以2+4=□+3为例，学生认为□内的值是6，表示等号左边对象计算所得答案，等号是执行计算的指令，并未呈现两边数字的关系。这种情况在实践中有大量表现。研究发现，学生对“9以内的加法正确率已经高达90%，但是当他们遇到2+2=□+1、2=□-1这样的题目时，错误率却很高”[2]。

2.等号表示扩展的意义

如2+4=□+3，学生认为□的值是9，其实施如下计算：2+4=6+3=9，将等号视为进一步计算的结果。

3.等号表示式子中所有数字的运算结果

仍然以2+4=□+3为例，学生认为□的值是9，□表示需将等式中所有出现的数字进行运算从而得到结果。其思路如下，先计算2+4=6，然后再计算6+3=9，所以□应该是9。第三种错误类型与第二种错误类型的区别在于，后者认为2+4=6+3，而前者认为这不相等，能够意识到这样写是不正确的。

4.认为等式两边存在语法错误

有学生认为等号左边可以计算，但右边应该呈现答案，因为“□”不是数字。主要原因在于学生缺乏等号概念的意义理解。等号的意义有二：其一，等号是数学运算的结果，如2+3=;其二，等号是一种关系符号，表示两边数量关系相等或地位相同，如天平平衡。

二、学生等号概念理解的错误原因分析

1.教材中知识呈现方式易造成学生对等号概念的刻板印象

一年级学生为何会对等号概念产生这些错误理解？审视现今小学数学教材，有关等号概念的安排与等式的表达，大都以A+B=□的方式呈现，这种等号左边运算、右边答案的模型，易造成一线教师对等号意义理解的弱化，给学生造成一种刻板印象，认为等号强调的是运算结果。虽然运算是发展等号概念的基础，但过于强调单边运算的等式呈现方式常误导学生产生错误的等号概念。

教材中等号概念的呈现方式导致许多教师只强调最后执行技巧和步骤的产出，而没有强调为何以及如何与不同元素间的相互连结，忽略等号概念的意义建构，弱化了学生对等号的意义理解，进而影响学生数学化的表现。如列出不正确的算式、对模式无法进行推理、形成不正确的结论等弊端。在实践中，许多“学生做不出1=□-□这样的算式，甚至看不懂”，甚至出现了“一道□=3+6的口算题目，难倒了一大片家长和学生”[3]的情况。

2.教材中学习内容的安排没有凸显等号概念的意义

等号是小学数学学习中最常用、最基本的一种符号，从四则运算中的递等式 到解决问题中的寻找等量关系，小学数学教育几乎是“等号教育”。因此，等号概念在小学数学中应该给予足够的重视以凸显其重要性。

但教材中对这部分内容的安排明显欠缺系统考量，以人教版和苏教版小学数学教材中等号的出现方式为例。

从图1和图2可以看出，教材中的等号概念采用说明的方式呈现，要求学生会读、能写，而对等号意义的说明不够充分。学生对等号概念的理解并非仅靠背诵练习即能获得，若能在问题情境中对等号加以讨论与辨析，让自己与他人确信其解释，那么，相等的关系概念就能确立。由于等号并非仅仅指向运算，需要由不同的情境诱发学生发现“相等”的概念，这就需要教材对此安排一定的篇幅，让学生经历感知→体验→思维→运用的过程，等号概念学习应有一套实用且符合学生认知需求的模型予以支撑。因此，等号概念的学习安排需要加强教材建设，重视等号概念学习的过程性和系统性。

3.前概念倒摄抑制一年级学生对等号概念的理解

Gelman 与Gallistel研究发现，幼儿判断2个集合是否相等时，会依赖数数的结果或者加在一起计数比较，这种能力间接形成了运算的观念[4]。当学生建立等号概念之后，遇到有关等号情境的问题时，大多数学生会坚持已建立的等号概念，将等号视为一种运算，而且这种观念不会轻易改变。

另一方面，大多数教师很难特意向学生说明等号是表示关系的符号，教学中只强调学生能够快速实施运算获得正确答案即可。这就造成学生认为等号的意义就是运算，是处理运算的一种表征方式。这个前概念会对等号的意义理解产生深刻而久远的倒摄抑制作用。由此可知，学生初始建立的等号概念对未来学习的影响重大，因此，一年级学生理解等号关系的困难受到早期算术经验所建构的知识的影响，而且学生对等号所持的观点，会影响其计算的结果。如何培养一年级学生对等号的正确观点是改善学生对等号概念的理解及应用等号解决问题的关键所在。

三、教学对策

事实上，学生在入学前就已具备计数、顺序的知识，进入小学后，会教数字的分解、组合、加减可逆运算等方法，学生进行比较和运算的能力更加成熟，但仍须通过完成一系列连续的行动（如分别计数，然后再比较），才能说明“+”与“=”之间的意义，这些能力若能坚实地发展且弹性地运用，对等号概念的理解有莫大的帮助。

1.强调等号是对象相等的两者间的链接

一年级学生的思维发展主要处在具体形象思维阶段，在面对抽象的等量关系时常感觉困难。因此，在学生开始接触等号时，就应该提供丰富的操作活动与经验。等号概念教学的最终目的在于使学生能理解等号两端对象“相等”，教学中可以提供天平平衡的具体操作，学生在教师的适当引导下，链接其习得的数字分解、合成技巧，顺利获得等号相等的概念。

对不同程度的学生而言，不同的知识呈现方式，可促進其等号概念、模型计划及执行知识的运用。教师可以引导学生将教学情境所学的等号概念转化至问题情境，正确地运用等号概念与程序性知识解题。然而，对能力不足的学生，则需在其既有的等号模型知识上，予以引导说明，帮助其建立更多元的等号概念，才有利于复杂命题的解答。倘若因学生数字分解合成能力不熟练，面对“双边运算”的命题时，仍以“单边运算”知识为主，教师可帮助学生理解等号具有两边对象“相等”的概念，避免其无法同时比对两边运算的结果而导致错误解答。

2.通过变化的问题情境呈现等号意义

利用等号关系概念进行解题，学生并非仅靠等式左边运算就能解决问题，尚需洞察问题的变化。如通过天平平衡现象的操作与观察，可让学生体会等号概念的“运算”“关系”与“反身性”等意义，并建立等号的多元意义，学生可通过情境的变化，将天平平衡与问题的操作链接，表达其对等号意义的理解。为此，可根据等号关系具有对象多元变化的特征，设计不同的问题情境，未知数的位置可在等号左、右两边，增加、消耗及取舍的加减法问题，进而简化步骤，促使学生推理与思考。

由于天平平衡的情境可作为等号两边对象相等关系的隐喻，为学生提供理解等号不同意义的机会。因此，通过对天平平衡的操作与观察，以激发学生思考问题情境中的对象特征及变化，将先前建立的天平“平衡”与等号“相等”的心智模型，投射在问题情境上。为建立等号概念的过程提供适切的经验。如理解平衡时，两端的对象若具有相同的质量（反身性），或是天平两端任意放两个砝码，如何操作才能保持天平平衡，只改变一端的砝码数量（单边运算），两端的砝码数量都改变（双边运算），帮助学生体会运算后的结果一样，即可表示相等的概念。通过此类情境，配合推理与安排合适的策略才能顺利解决问题，让学生体验等号是表示一种平衡关系。

3.通过多元表征来理解等号的意义

小学一年级学生处于具体思维阶段，大部分学生仍须借助具体实物操作。例如画图、动作计数等表征，将解题的步骤与结果予以连结，才能顺利解题。因此，要建立学生扎实的等号概念，应同时呈现对象表征与等号概念之间的联结与转换，让学生选择方法并验证，才能促进学生对等号概念的理解。

教学实践中可提供和激发学生学习运用具体表征的兴趣。对认知能力较差的学生而言，具体图像表征的指导更为重要，因为可协助其将抽象的等号算式的意义加以连结，作为理解的基础。学生在等号单边情境教学初始时，由于数字分解和合成能力掌握并不牢固，因此可采用“画圆圈”的表征方式来帮助学生实施运算。而在接触双边运算情境时，因无法将单边运算的知识转化至双边运算情境，教师可鼓励学生通过天平实物操作的具体表征，配合运算步骤，以进行两边数量的比较。

总之，等号概念在数学教学中具有重要的关联性，等号概念可巩固学生的数学知识，提高计算的正确性，使代数推理更易进行。根据一年级学生在解决此类问题中易犯的错误，采取相应的措施改善学生对等号概念的掌握情况，教学中可安排具体的实物操作情境，呈现并配合情境意义的算式，耐心且详尽地说明其间的关系，尤其是等号两边运算情境的安排，可帮助学生通过运算验证而发展等号概念，尽早且“润物细无声”地为每一位学生提供代数学习的机会。

参考文献

[1] 吴恢銮，李春英，陈洪杰，等.一年级渗透代数思维的教学探索——从两节以丰富等号意义为目标的研究课辩起[J].小学数学教师，2015（10）.

[2] 葛再晓. 基于学生思维轨迹下的“关系符号”[J].小学教学研究，2016（25）.

[3] 朱清婷.小学低段数学运算符号的教学片段与思考[J].数学教学通讯，2018（31）.

[4] Gelman， R.， & Gallistel， C. R. The childs understanding of number[M].Cambridge， CA：Harvard University Press，1978.

[责任编辑：陈国庆]