注重实践探究提升数学素养

李霞 杨丽

教材内容：人教版数学五年级上册第七单元106页例1。

教学目标：

1.通过探究发现一条线段上“两端要栽”“两端不栽”“只栽一端”三种不同情况植树问题的规律。

2.通过“动手画”“动手摆”等数学活动过程探究新知，从中渗透数形结合、建模等数学思想，使学生经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法。

3.让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

教学重、难点：探究棵数与间隔数之间的关系。应用植树问题的模型灵活解决一些相关的实际问题。

教学准备：教学课件、树的模型、小路的模型。

教学过程：

一、 游戏导入，渗透规律

师：同学们喜欢做游戏吗？

生：喜欢。

师：那我们来做个一刀两“段”的游戏。（板贴：一刀两“段”。）请同学们看黑板，老师画了一个绳子的草图，我一刀切下去，绳子变成了几段？

生：2段。

师：那2刀呢？

生：3段。

师：4刀呢？

生：5段。

师：99刀呢？

生：100段。

师：反过来问，分成2段，需要几刀？

生：1刀。

师：在这个游戏里，我们通过画一个简单的草图，找到了剪绳子时，刀数与段数之间的规律，这个规律是什么呢？

生：段数比刀数多1。

生：刀数比段数少1。

师：有了这个规律就可以推导出一个公式。（板贴：段数=刀数+1。）

师：有了这个公式，计算大的数据就简便了。这节课我们继续利用“画——找——推”的方法，解决数学广角中的植树问题。（板书：植树问题。）

【评析】根据学生的年龄特点，创设学生喜欢的游戏情境，在游戏中，学生初步感受、发现数学规律就在身边，同时渗透给学生“画——找——推”的学习方法，让学生有本可依，有据可照，为接下来探究植树问题的三个基本规律奠定基础。

二、合作探究，发现规律

1.明确植树的三种情况。

师：同学们知道3月12日是什么日子吗？对，是植树节，从这一天开始全国上下都开始植树，为保护环境献一份力量。园林工人想请同学们帮帮忙：在一条长20米的小路上设计一份植树方案。（课件出示设计要求。）

小组合作

在全长20米的小路一侧植树，每隔5米栽一棵，可能有几种情况？每种情况可以栽几棵树？

请聪明的你选择出一种植树情况设计出植树方案。

师：谁来读一读？提了哪些要求？

生：在一条长20米的小路一边，每隔5米栽一棵树。

师：两棵树之间的距离，在数学中我们把它叫做间隔，间隔长是5米。你我之间有间隔吗？请你起立，咱们三个人之间有几个间隔？（师依次指前后两个学生起立，生回答。）

师：20米长的小路一边，每隔5米栽一棵树，你猜想一下会需要几个树苗呢？

生：4棵、5棵、3棵……

师：现在就让我们以小组为单位动手验证一下，小组内可以动手画一画，也可以用老师为你们提供的学具摆一摆。做一名小小的园林设计师，按要求为这条小路设计植树方案吧。

（学生分小组设计植树方案。）

师：大多数小组已经完成了，哪一位同学说一说你们小组是怎样设计的？栽了几棵树？（小组汇报设计方案。）

小组1：我们小组设计栽了5棵树。在一条长20米的路上，在路的一端先栽1棵，然后隔5米栽第2棵，再隔5米栽第3棵……再隔5米栽第5棵。（板贴。）

师：他们设计了栽5棵树，还有不同的设计方案吗？

小组2：我们小组设计栽了4棵树，开头的地方没栽，隔5米栽第1棵……隔5米栽第4棵。（板贴。）

师：为什么开头的地方不栽？

生：因为有的时候在一条路的一头可能会有房屋或其他建筑物，所以不能栽。

师：你想得真周到，真是个细心又爱动脑的孩子。

师：（看屏幕）是这样的吗？

师：是呀，如果路的一端有建筑物，就只能在另一端栽了！同学们的设计真精彩啊！其他小组还有不同的设计方案吗？

小组3：可以栽3棵树。（板贴。）

师：你回答得太棒了！

【评析】基于学生已有的認知水平，先让学生猜需要多少棵树苗，再引导学生开展探究活动，放手让学生以小组合作的方式通过“画一画”“摆一摆”等方法给学生提供了自由探究的空间，充分关注学生数学学习的全过程，学生轻松地设计出了三种植树方案。

2.探究间隔数与棵树之间的关系。

师：同样长的路，有三种植树情况。让我们再一次观察，找一找它们相同的地方和不同的地方，同桌之间可以讨论一下。

师：谁说一下？（屏幕出示。）

生：相同的是总长20米，间隔的长度是5米，间隔数都是4个。不同的是栽的棵树不同。

师：根据植树的情况不同，给它们起名字：栽5棵的是两端栽的，我们可以叫它两端都栽;（板贴：两端都栽。）栽4棵的是一端栽的，我们叫它只栽一端;（板贴：只栽一端。）栽3棵的是两端都不栽的，我们叫它两端不栽。（板贴：两端不栽。）

师：这三种植树情况又有什么相同点和不同点呢？

生：间隔数相同，栽的棵树不同。

师：同样都有4个间隔，间隔数与棵树又存在着什么关系呢？你们再来找一找，看看能发现什么？

生：两端都栽，植树棵数比间隔数多1;（板书：棵数=间隔数+1。）只栽一端，植树棵数与间隔数相等;（板书：棵数=间隔数。）两端不栽，植树棵数比间隔数少1。（板书：棵数=间隔数-1。）

师：20米长的路，每隔5米栽一棵树，要想求出需要栽多少棵树，首先得求出什么？

生：间隔数。

师：列式是……

生：20÷5=4。（板书。）

师：间隔数是怎么求呢？

生：总长÷间隔长=间隔数。

生：当两端都栽时，棵数=间隔数+1;[师板书：4+1=5（棵）。]当只栽一端时，棵数=间隔数;[师板书：4=4（棵）。]当两端不栽时，棵数=间隔数-1。[师板书：4-1=3（棵）。]

【评析】引导学生看图观察三種植树方案，学生通过“比一比”“找一找”的方法，探索规律，发现规律，让学生经历知识的建模过程。学生找出了棵树与间隔数之间的规律并推导出公式，进而解决三种植树方案问题，验证之前的猜测。

3.分组验证规律。

师：同学们很了不起，让我们鼓励鼓励自己，我们用“画——找——推”的方法掌握了植树问题的三种基本情况。但是我们是以小路总长20米的一边每隔5米栽一棵树为例，发现了间隔数与棵树之间的关系，这个关系在25米、30米、35米长的小路上还适用吗？我们需要怎么办呢？

生：验证。

师：那好，我们分组来验证。（看学习卡2：举手确认总长数，25米、30米、35米。）下面继续利用“画——找——推”的方法，同桌之间按照学习卡上的小路长度来进一步验证三种植树情况中棵树和间隔数之间的关系。请看学习提示。（课件出示学习提示。）

学习提示

1. 画一画：小组分别在全长25米、30米、35米的小路一侧，每隔5米栽一棵树，请画出植树的三种情况，求出每种情况能栽多少棵树？

2.填一填：根据画的结果完成学习卡中的表。

3.说一说：把你的发现和同桌说一说。

（学生验证——教师巡视——学生汇报——课件出示。）

【评析】考虑到有个别学生还没有真正体验到独立植树的过程，所以再用25米、30米、35米长的小路植树来验证得出的结论。这样每一名学生都通过操作探究、分析比较，进一步认识到棵数与段数、间隔数之间的联系，使规律根植于心，从而建构起植树问题的数学模型。

4.记忆三种植树规律。

师：刚才我们通过一系列验证，得出了植树问题的三种情况的基本规律。可是这三种情况很容易混淆，想一想我们应该怎样记忆呢？（师举手。）我的手上有哪些数字？5指的是什么？

生：5棵树。

师：4空指什么？

生：4个间隔。

师：那么可以用5指4空来记忆，5指4空是哪种植树情况？

生：两端都栽。

师：最多栽几棵，实际上就是求两端都栽，最少栽几棵，实际上就是求两端都不栽的情况。小手是不离身的，有了这个模型带在身上我们还会弄混淆这三种植树情况吗？

（学生记忆规律。）

【评析】运用学生最熟悉的小手模型的“5指4空”法来帮助学生巩固、强化记忆三种植树规律。

三、解决问题，内化规律

1.自主学习例一。

师：植树问题的三种基本情况我们已经掌握了，但这节课我们的重点是解决两端都栽的植树问题。那老师可要考考你们了，下面就试一试解决题卡中的例1。

（师出示例一，指名读题。）

例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米种一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？

师：属于哪种植树情况？

生：两端都栽。

师：做在答题卡上。

生：100÷5=20（个），我是先求出间隔数。两端都栽，所以棵数就多1，20+1=21（棵）。

师：还有不同意见和不懂的地方吗？那我把这道题变一个字，该怎么做呢？

生：一边植树变成两边植树，用21×2=42（棵），所以两边需要栽就是42棵树。

师：我们在解决问题时应注意什么呢？

生：认真读题。

师：对，读题时要细心，读懂关键字。

2.变式例一。

师：老师把例1再变一下，该怎么解答呢？

例1二变：同学们在小路一边植树，每隔5米种一棵（两端都栽），一共要栽21棵树，这条小路长多少米？

师：给你棵数了，怎么求小路总长？做在你的学习卡上。

（生做题后汇报：21-1=20（个）间隔，再用20×5=100（米）。）

3.扩展迁移。

师：同学们很棒！老师把例1变了两次都没有难倒你们，其实植树问题并不只是与植树有关，生活中还有许多现象和两端都栽的植树问题很相似。你还知道哪些？

生：排队、敲钟、摆花、挂彩灯、上楼……

师：这些现象都可以用植树问题的策略来解决它，你们想试试吗？

生：想。

师：让我们进入数学乐园。

【评析】学生运用发现的规律和所建立的数学模型独立解决植树问题例1后，教师再对例题两次变形，培养了学生学习数学的态度和思维方式。最后延伸到生活中类似的现象，使学生感受到数学就在身边。

四、尝试实践，应用规律

第一个板块：巩固练习填一填。

园林工人在长27米的小路一侧摆花（两端都摆），每隔3米摆一盆花，有（）个间隔，摆（）盆花。

第二个板块：动脑思考判一判。

1.小明从1楼走到3楼，共走了3层楼梯。（）

2.5路公共汽车行驶路线全长6千米，相邻的两站之间的路程都是1千米，一共要设5个车站。（）

3.元宵节，中华大街一侧从头到尾一共挂了200个大红灯笼，如果在每两个灯笼间挂一个中国结，需要199个中国结。（）

第三个板块：火眼金睛选一选。

在一条全长2000米的街道一旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安一盏。一共要安装多少盏路灯？（）

A.2000÷50=40（盏）

B.2000÷50=40   40+1=41（盏）

C.2000÷50=40   40-1=39（盏）

【评析】通过不同层次的练习，让学生了解生活中的“植樹”问题。学生运用新获得的数学知识来解决生活中的实际问题，使学生意识到生活中处处有数学，数学源于生活，又运用于生活。

五、总结提升，拓展规律

师：同学们，这节课我们运用了“画——找——推”的方法，掌握了植树问题三种情况的基本规律，重点解决了“两端都栽”这种情况下的植树问题，使复杂的问题变得简单了。在下节课的学习中，我们将继续利用这些规律去解其他两种情况的植树问题，好吗？

总评：

“植树问题”是小学数学中较为复杂的问题，教学内容本身需要很强的数学思维，有很大的探究空间。它需要学生的自主探究和教师的有效引领。李霞老师给我们展示了一堂精彩的数学课。整节课目标定位准确，主线明朗清晰，训练扎实有效， 对模型、数形结合、化归、一一对应等数学思想做了有效的诠释和渗透。在愉悦的氛围中引发了学生学习的动机，让学生学有所获。综观整节课，亮点有三：

1.教学内容以关注学生的经验为起点，科学合理。

植树问题应有两大类型：一是在直线上植树;二是在封闭图形上植树。两个类型可以相互转化。其中，直线上植树是最基本的类型，它有三种不同情况：两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽。另外，植树问题还存在着单边植树和双边植树两种情形。如果不同的类型、不同的情况和不同的情形相互交叉，那么就会演绎出更多的、更为复杂的植树问题。本节课作为数学广角“植树问题”的起始课，教师关注了学生学习的起点，根据五年级学生的认知实际情况。在第一课时上，让学生找出直线上三种植树情况的基本规律，验证规律后，选定将“两端都栽的情况”作为重点研究对象，将“会用植树问题的模型解决一些相关的实际问题”作为教学目标来完成，有序安排教参建议的课时数。我认为，这节课目标定位很准确，容量适当，避免因知识容量大、知识类别杂而造成学生学得累、掌握效果不佳的后果。

2.数学规律的认知依存于学生的实践探究，循序渐进。

先以游戏导入，渗透规律。教学中，李老师从生活中“一刀两段”这一简单的数学现象出发，引导学生去掉表象保留其数学本质，达到化繁为简、内化知识的目的。学生依据规律推导出“段数=刀数+1”，为探究学习植树问题做好铺垫。接着合作探究，发现规律。李老师引导学生“在20米长小路上栽树”开展探究活动，将三种植树方式融入一个情境中进行对比研究，设计有着独到之处。放手让学生通过“画、摆、找、推”等方法，以小组合作的方式探索规律、发现规律，给学生提供了多样化的选择，充分关注了学生数学学习的全过程，让学生经历了知识的建模过程。学生找出了棵树与间隔数之间的规律并推导出公式后，继续探究，验证规律。学生分组验证25米、30米、35米长的小路三种植树情况下棵数和间隔数之间的规律。通过操作探究、分析比较，进一步认识到棵数与段数、间隔数之间的联系，使规律真正根植于学生内心，而非简单的被动记忆。再利用“5指4空”法帮助学生巩固加深记忆三种植树情况，从而建立牢固的数学模型。最后利用模型解决实际问题，内化规律，尝试实践并应用规律。数学是研究数量关系和空间形式的科学。作为数学教师，不仅让学生记住公式、规律，更要关注学生如何理解探究公式、规律的方法，学生利用熟悉的直观模型和掌握的数学思想探究规律，这也是“数学广角”要达到的教学主旨。

3.问题情境的创设立足于学生的生活运用，生动有效。

培养学生应用数学知识解决生活中问题的能力是新课程实施的重要目标之一。整节课教学活动的展开紧紧围绕学生的生活与运用。从学生熟悉的“剪绳子”的游戏引入新课，又以“植树节设计植树方案”的情境引出对问题和新知的探讨，记忆规律时教师让学生张开手指，仔细观察。在对例题的变式中，一变是由“小路一边植树”变为“两边植树”，二变是由“给小路总长求棵数”变为“给棵数求小路总长”，培养学生数学学习的严谨态度和思维方式，提高数学素养，提升学生举一反三的能力。在实际应用中，让学生走进生活中的那些类似于植树问题的现象，意在告诉学生这些现象都可以用植树问题的策略来解决。在练习设计不同板块时，也是解决生活中的数学问题。“巩固练习填一填”利用的是园林工人在小路摆花的情境;“动脑思考判一判”创设的情境是：小明走楼梯、公共汽车行驶路线上设车站、元宵节大街挂红灯笼和中国结;“火眼金睛选一选”的情境是：在街道旁安装路灯。多种形式的训练中，有求总长的，有求段数的，有求棵树的，有求间隔数的，在题型设计上由易到难，由浅入深，训练有序，这些都较好地体现了思维训练的开放性，加深了学生对植树规律的实践性体验和理解。我认为，根植于生活的教学情境的创设放飞了学生思维的翅膀，把数学教学融于千姿百态的生活之中，让学生在具体生活中理解数学现象、解决问题，深深地体会到数学的应用价值与魅力。

总之，这节“植树问题”的教学，让学生经历了“感知——探究——应用”的全过程，从中习得解决问题的方法，体验到学习数学的乐趣。教师对课程资源的关注、对学情的关注、对数学思想的渗透、对学生应用意识的培养、对思维训练的把握，都有效地提升了学生的数学素养。

编辑∕韩晓雨