双平行导线间轴向运动导电梁的动力稳定性

胡宇达，张立保，刘 郑，张明冉

(1.燕山大学 建筑工程与力学学院，河北 秦皇岛 066004；2.燕山大学 河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，河北 秦皇岛 066004；3.河北医科大学 后勤管理处，河北 石家庄 050017)

0 引言

在现代工程领域中，存在许多轴向运动结构，如运动导线、板带轧制、电磁运输器件等。当运动结构件处于复杂场环境中时，系统将出现耦合振动及稳定性等问题，并影响着结构的正常运行，而这些问题的研究也具有理论和实际意义。Pellican[1]研究了轴向运动系统的振动特性，分析了复杂系统动态响应的实验和数值计算结果；Chen等[2-4]应用伽辽金法对轴向运动梁的固有频率以及对轴向运动粘弹性梁的参数振动等问题进行了研究，分析了系统的稳定性；陈树辉等[5-6]应用L-P法对轴向运动梁的非线性内共振问题进行了研究；Ghayesh等[7]研究了轴向运动Timoshenko梁固有振动问题的分析方法；Wang等[8]研究了轴向运动梁的模态频率特性。对于磁场环境中运动结构模型的研究，Hu等[9-10]建立了磁场中轴向运动导电薄板的磁弹性耦合振动方程，研究了系统的非线性共振及动力稳定性问题，并对磁场中轴向变速运动薄板的主参数共振问题进行了研究，此外，胡宇达等[11-12]针对磁场环境中轴向运动导电导磁梁磁弹性耦合振动的理论建模问题进行研究，推导出了导电导磁梁的磁弹性振动微分方程，并且分析了轴向运动载流梁在简谐激励作用下的磁弹性强迫振动问题；Nayak和Thompson等[13-14]研究了磁流变弹性体夹层梁的振动和混沌动力学等问题；Hasanyan等[15]研究了载流磁弹性平板的屈曲问题。从已有文献看，针对轴向运动结构或结构磁弹性问题的研究比较深入，但研究轴向运动梁的磁弹性振动问题的相关文献还很少。本文在笔者所建理论模型基础上，进一步考虑了平行导线产生磁场的作用，针对平行导线产生磁场区域轴向运动梁的动力稳定性问题进行分析，讨论奇点类型；因考虑了梁的横向振动位移对磁场分布的影响，所以电磁力中体现了弹性振动位移与导线电流间的耦合效应。

1 双平行导线间轴向运动梁的磁弹性方程

研究双载流平行导线间同面内的轴向运动导电梁，如图1所示建立直角坐标系。该梁沿着x轴方向以速度c做轴向运动，并且受到两端轴向拉力F0x作用，梁长为l，高为h，宽为b，导线通入的电流分别为I1和I2，导线与梁间的距离分别为d1和d2。

图1 双导线间轴向运动梁模型
Fig.1 Axially moving beam model between two parallel wires

1.1 动能和势能

当轴向运动梁产生横向振动时，系统的动能表达式为[11]

(1)

式中，ρ为质量密度；A=hb为截面面积；w(x,t)为梁的横向位移；t为时间变量。

梁的势能包括梁的弯曲应变能和轴向拉力F0x引起的应变能，其总势能为

(2)

1.2 电磁力

根据电磁场理论，通电导线周围将产生感应磁场，弹性梁运动时所在位置产生的作用磁场矢量为

(3)

式中，μ0为真空磁导率，j为沿y方向的坐标单位向量；当通入的电流I1与I2同向时取“-”号，反向时取“+”号(下同)。进一步可得运动梁体内沿轴向的感应电流密度为

(4)

这样，依据电动力学理论，可推得轴向运动导电弹性梁所受单位长度电磁力为

(5)

1.3 磁弹性方程

根据上面给出的表达式，基于哈密顿变分原理，可推得双平行导线间轴向运动导电梁的磁弹性振动方程：

(6)

将式(6)的右端进行Taylor级数展开，略去三次方以上的高阶项后可进一步得到系统的非线性振动控制方程：

(7)

当研究轴向运动梁两端具有铰支约束情况时，可将满足边界条件的位移解取为下面分离变量展开形式为

(8)

将式(8)代入式(7)中，进行伽辽金积分运算，可得关于时间变量的振动微分方程：

(9)

2 奇点稳定性分析

下面应用奇点理论对动力系统(9)的稳定性问题进行分析。首先将式(9)转化为一阶状态方程形式：

(10)

式中，x=q(t)。

由式(10)可见，非线性系统有唯一奇点(0,0)。因系统(10)雅柯比矩阵是非奇异的，因此依据李雅普诺夫稳定性理论可知，其与如下线性近似系统具有相同的奇点类型：

(11)

根据判别式Δ=p2-4q(这里，p=-g1a1，q=k)，可得下面划分奇点及其稳定性的条件：

1)Δ≥0时,当q>0，奇点为稳定结点；当q<0，奇点为不稳定鞍点；

2)Δ<0时,此时需满足q>0，奇点为稳定焦点。

3 数值算例

针对双平行同向导线间轴向运动铝制材料梁动力学稳定性进行计算分析，主要参数：密度ρ=2 670 kg/m3，电导率σ=3.63×107(Ω·m)-1，真空磁导率μ0=4π×10-7H/m，弹性模量E=71 GPa，梁长l=1 m。

根据奇点分析判别式进行求解，图2～4得到了奇点的类型及其稳定性划分区域。

图2(a)为判别式Δ=0时的速度-电流临界曲面图，图2(b)和图2(c)为对应图2(a)的稳定性平面截图(取d1=0.05 m，d2=0.05 m)。由图2(b)可知，随电流I1的增大，临界速度由1个变为2个，奇点类型也由2个变为3个，此时由稳定焦点转化为稳定结点所需的速度c逐渐减小，而奇点变为鞍点的临界速度为不变值。由图2(c)可知，随电流I2的逐渐增大，奇点由稳定焦点转化为稳定结点所需的速度c先增大后减小，中间出现由稳定焦点转化为鞍点的不变临界值情况，且稳定结点的区域相对较小，速度对系统稳定性的影响非常敏感。

图2 速度-电流稳定性图
Fig.2 Velocity-current stability diagram

图3(a)为判别式Δ=0时的速度-距离临界曲面图，图3(b)和图3(c)为对应图3(a)的稳定性平面截图(取I1=5 000 A，I2=2 000 A)。由图3(b)可知，随距离d1增大，奇点由稳定焦点转化为稳定结点所需的速度也逐渐增大，且达到一定值后稳定结点消失，之后退化为由稳定焦点直接转化为鞍点的单临界速度情况。由图3(c)可知，随距离d2的增大，奇点由稳定焦点转化为稳定结点所需的速度c先增大后减小，中间出现由稳定焦点直接转化为鞍点的单临界速度情况。

图3 速度-距离稳定性图
Fig.3 Velocity-distance stability diagram

图4(a)为判别式Δ=0时的电流-距离临界曲面图，图4(b)和图4(c)为对应图4(a)的稳定性平面截图。由图4(b)可知，在给出的参数范围内，存在稳定焦点和稳定结点两个区域，且随距离d1的增大，由稳定焦点转化为稳定结点的临界电流也逐渐增大。由图4(c)可知，临界电流仍为单值，且随距离d2的增大，奇点由稳定焦点转化为稳定结点所需的电流值I1逐渐变小。

图4 电流-距离稳定性图
Fig.4 Current-distance stability diagram

4 结论

本文推导出了两根导线产生磁场环境中轴向运动导电梁的磁弹性振动方程，对系统奇点稳定性问题进行了分析，给出了稳定性判别条件，计算结果表明：

1)在速度-电流和速度-距离稳定域中，存在稳定焦点、结点和不稳定鞍点的三个区域，对应的也存在两个临界速度值情况，且系统的稳定性依赖于轴向速度非常敏感。

2)在电流-速度稳定域中，仅存在稳定焦点和稳定结点两个区域，没有鞍点区域，对应的临界速度为单值。可见，通过相关参数的控制，能够使系统达到稳定运动状态区域，所得结果可为工程实际提供理论参考。