关于现代火箭几个问题的物理学分析

文/西安交通大学 张文龙

1 绪论

（一）课题研究背景及目的

在人类进入太空的历程中，火箭发射技术目前已经非常成熟，由最早的V2火箭发展到今天，已有较著名的长征系列（中国）、质子系列（前苏联）、德尔塔系列（美国）、阿丽亚娜系列（欧洲）等等。探究火箭发射技术的原理及相关问题，将有机会节省成本，还能大幅提高运载能力、运载效率。从而探索未来发展方向，帮助人们早日走向深空。

（二）研究方法

建立合理模型，利用物理学中动量定理（密舍尔斯基方程）、能量定理、狭义相对论下的速度质量变换及数学技巧进行求解。

（三）研究内容

火箭原理、火箭级数的取舍、实际火箭的分析、火箭效率问题。

2 火箭原理分析

我们将通过合理的建模和公式的推导来进行分析。

为简化运算，在中学能力范围内进行研究，特进行以下运算,解决此问题需要运用动量的有关知识。设在t时刻主体质量为m，速度为v，质量变化为dm（数值为负值），速度为u，系统动量为mv+dmu，在dt后有主体质量m+dm，速度为v+dv，系统合外力F，根据动量定理有：

（m+dm）（v+dv）-（mv+dmu）=Fdt

设一只简单火箭总质量为m总,空火箭m空，为喷出气体相对火箭的速度，即上式中的-(u-v)，不受外力，经历的时间为t。

此式只涉及到火箭本身的物理量，最早推导出此公式的是俄国天才的物理学家、航天领域的先驱和火箭理论专家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基，所以它又叫齐奥尔科夫斯基公式。

下面考虑重力场的影响，有：

观察这个式子，发现要想提高喷射性火箭的末速度，一是要减少在引力场中被减速的时间(并非在引力场中的时间，如卫星一直存在于引力场中，但重力只能改变它的方向而不是大小，不会对其减速)，即更短的发射时间；二是增大喷气速度，对应的是比冲；三是增大燃料比值，减少不必要的重量。

可能有的同学要较真，这是牛顿力学体系下推导出的公式，在高速条件下不正确，那索性也推导一下相对论下的火箭方程。

以上的计算直接从基本的变换出发，简洁明了，而许多书籍中采取了小量求和的方法，繁琐复杂而且让人难以理解，还是本文给出的解答比较明白晓畅。

可以看出，火箭速度不可能超过光速，这是与相对论体系相容的。

那如果v远远小于c：

利用ln（x+1）≈ x

可见在速度较小的情况下，结果与非相对论下的结果是相同的。

3 火箭级数的取舍分析

如果采用一级火箭飞入太空，即上世纪60年代兴起过得所谓的单级入轨，假设有喷射速度到达3km/s的发动机（已经很高了），让每级火箭燃料和其它质量的比值达到5:1设计两级火箭，比值为10且不计空气阻力及重力。

设第一段火箭本身的质量为m，第一级火箭有5 m的燃料，总质量6m，下一级火箭质量10m，燃料质量50m，载荷（上一级总质量）6m，总质量66m。

可以计算出速度V1为9626.5 m/s，已远超过第一宇宙速度。

假设一只装有55m燃料，本身重11m的火箭，这支火箭的总质量与燃料与上一只一样，但只有一级，相当于不抛去10m的箭体：

速度为5375.3m/s，还不到第一宇宙速度。

由此可见单级入轨方案的运载能力还是太差，事实上，所有的单级入轨方案都仅仅停留在了概念图和PPT层面。

多级入轨也存在问题，由于各级分离的过程是火箭故障多发过程，如果每一次分离都是一次独立事件，一次分离成功率90%，那二级火箭不在分离时失误的概率为90%，三级火箭81%，而四级火箭为72.9%，差距很大。

事实上故障发生还不仅是独立事件，因为级数越多越复杂，导致每级故障的概率也会变大（如上文四级火箭每级故障率会大于10%），太多级数的火箭会变得很不可靠。质子火箭设计时加到四级然而在绝大多数的发射中还是采用了三级，较新设计的火箭如Falcon 9、长征五号等都采用了两级设计或所谓的一级半设计，在可预见一段时间里，兼顾运载能力和可靠性的二级火箭都会是运载火箭的主流设计。

4 火箭运载能力实例分析

下面的研究将以SpaceX的当家花旦，最近航天界很火爆的Falcon 9为例。

现假设一支Falcon 9火箭（一种两级火箭）发射质量为M0，第一级火箭的质量为M1，燃料质量为m1，第二级火箭质量（包括整流罩m）为M2，燃料质量为m2，卫星质量m0。将卫星送上LEO轨道，t1是一级火箭工作的时间。

由于Falcon 9经过多次改进，有很多不同时期的数据，这里选取较近期比较全面且可靠的一组数据，以下数据转引自表中大部分参数来自“Falcon 9 Overview, Launch Cost ” 与“Space Launch Report:SpaceX Falcon Data Sheet ”（http://zhidao.baidu.com/question/691280372416559604.html）。

一级火箭海平面比冲255 sec(2.6 kN/kg)，真空比冲304 sec(3.0 kN/kg)，取平均值换算为喷射速度：2739.1m/s。

二级火箭比冲342 sec（3.45 kN/kg）换算喷射速度：3351.6m/s。

火箭发射质量M0500吨。

第一级火箭空重M126吨。

芯一级燃料质量为m1380吨 燃烧时间170s。

第二级火箭空重（包括整流罩m5.5吨）M210吨。

芯二级燃料质量m270吨。

卫星质量m0最大13吨（LEO近地轨道）。

为简化运算，可以先算出：

一级燃烧完后有120吨(一、二级未分离)。

二级燃烧完后有23吨，减去整流罩有17.5吨（二级和载荷未分离）。

根据SpaceX公布的以往的发射时间轴，第二级火箭在第二级点火41s后抛去整流罩，整个二级燃烧时间349s，认为均匀消耗燃料：

计算出mx=8.22吨。

考虑到空气阻力的影响，这和许多因素都有关系，不同高度下的阻力也不相同，在底层大气中飞行时空气阻力甚至能达到数倍自身的重力，平流层以上又很小，处理起来很不方便，但可以把空气阻力近似成它自身重力，并持续作用到二级火箭点火，此后过少的空气阻力就不再考虑。

下面一级一级进行计算

经过一段时间，抛去整流罩,此时应有:

考虑到卡纳维拉尔角（SpaceX的租下的火箭发射场、美国航天圣地）的纬度为28.3°，可以算出初始速度：

Falcon 9的LEO轨道是指火箭在卡角往正东方向发射，发射倾角在28度，轨道高度为185km，这是美国LEO轨道的标准轨道高度。

由机械能守恒求轨道上的速度：

误差大约仅有0.0156%，这说明假设十分合理，进行的简化计算没有理论性的问题。

在最近SpaceX公布的数据中Falcon 9的LEO运载能力达到了惊人的22.8吨，这已经接近重型运载火箭的能力了，但SpaceX官网并没有给出改进后关键的其他参数，就不再讨论了。

综上所述可以看到，得出的结论和SpaceX给出的数据符合的十分得完美。利用已经得到的公式对于一款真实型号的火箭进行计算并且得出的数据与官方数据符合的很好，这说明之前得到的关于火箭发射利用到的公式是完全正确的。

5 火箭效率问题

下面来研究火箭的效率问题。

由于化学燃料燃烧时不是都转化了动能而是有部分变为光能等其他能量，效率问题涉及到很多领域，如推进剂性能的提高依靠化学工业技术的提高，还受化学反应焓变的制约；霍尔推力器中电子的完全非弹性碰撞会产生能量损失；喷管形状可以直接影响比冲从而影响效率；甚至不同的发射倾角都会产生影响。而这里要研究的是不再考虑其他能量的影响，从机械能的角度出发，考虑的是高度理想化的理论层面的效率问题。

为了得到更普遍的结论，下面的推导将不再考虑重力和其他外力的影响。

设火箭主体质量为M0，携带的燃料质量M0，总质量M0，单位时间里燃料燃烧的质量为m0，喷射速度为u。

先求总功率，运动的火箭求解比较麻烦，可以利用一个巧妙的办法求解。

一个设备的功率或者说它的做功能力是它本身的性质。只要这个设备的工作状态是一定的，如喷气的发动机性能是不变的，那么它的功率就应该不变。同样两支火箭，一只固定，一只自由运动，尽管两个的运动状态不一样，但具有同样的发动机，做功的能力应该是一样的，即功率是一样的。

这里研究一支固定火箭的功率以代替运动火箭的功率。

取一小段时间，有

也可以在运动的火箭中研究，来验证其正确性。

在一个小的时间段里，总质量由M变为了M+dM和-dM两项，总的动能增量为

忽略掉二级小量

由于动量守恒可得Mdv+udM=0

得到的结论完全一样，说明等效的方法是正确的，而且相比于在运动的火箭中或是换参考系的方法求解，十分的简便。

飞船获得的最终动能为

燃料释放的动能为

这是一个超越方程，得到它的近似解为μ=4.92155

对应的最大效率为64.761%

这是一个非常有趣的结论，可以看出喷射型火箭存在着它效率的极限！而且这是理论的极限，无论怎样改进推进剂或是结构，效率不是更接近于100%而是不会超过64.761%，此时总质量为箭身质量的特定倍数。

再来看看Falcon 9的质量比：

火箭发射质量M0500吨，芯一级燃料质量为m1380吨。

第二级火箭空重（包括整流罩m5.5吨）M210吨。

芯二级燃料质量m270吨，卫星质量m0最大13吨（LEO轨道）。

第一级比值，对应效率64.3%；第二级比值，对应极限效率63.9%。可见工程师在设计时的总体控制能力很好。