碰撞过程中的动量守恒和能量损失研究

王泽昊

摘 要：在研究碰撞问题时，动量守恒和能量转化一直备受关注。从宏观物体与微观粒子（电子）的两个方面，来探讨在发生碰撞的过程中，系统动量的守恒，以及能量损失的方向和形式。在宏观方面，会对不同碰撞恢复系数的物体间的碰撞进行研究，通过构建碰撞模型进行定量计算，并绘图分析。而在微观层面，则会首先介绍电子模型，并对电子间的碰撞情况进行分析，最后仿照物体的恢复系数，类比了电子碰撞中的“恢复系数”为0。

关键词：碰撞;弹性系数;动量守恒;能量损失;微观与宏观

中图分类号：TB     文献标识码：A      doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.10.090

碰撞（collision）在物理学中表现为两粒子或物体间极短的相互作用。 碰撞前后参与物发生速度、动量或能量改变。碰撞可以是宏观物体的碰撞，如打击等，也可以是微观粒子如原子等之间的碰撞。只要是两个作相对运动的物体，接触并迅速改变其运动状态的现象，都可以叫作碰撞。

动量（momentum）是与物体的质量和速度相关的物理量。一般而言，一个物体的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势。能量（energy）是物質运动转换的量度，简称“能”。

在明确了这些概念的前提下，本文接下来将会从微观与宏观两个角度入手，讨论在发生碰撞的过程中，系统动量与能量的变化情况。

1 碰撞过程中的动量守恒

如图1所示，在地面上有质量分别为m1和m2的两个物体，它们分别以v1和v2的速度相向运动（v1>v2）。随后两物体发生碰撞，碰撞时间为Δt。碰撞后两物体的速度分别为v'1和v'2。

根据加速度的定义：

a=ΔvΔt（1）

可得两物体的加速度分别为：

a1=v'1-v1Δt（2）

a2=v'2-v2Δt（3）

根据牛顿第二定律可得两物体所受合力分别为：

F1=m1v'1-v1Δt（4）

F2=m2v'2-v2Δt（5）

当两物体所受外力为0或相互抵消时（在这里即地面提供的摩擦力为0时），两物体各自所受的合力即为其撞击时所受的力。根据牛顿第三定律：

F1=-F2（6）

且又根据动量定理：

FΔt=mv'-mv（7）

联立可得：

m1（v'1-v1）Δt=m2（v'2-v2）Δt（8）

整理可得：

m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'（9）

根据动量的定义，可以得到碰撞前后系统总动量相等，即动量守恒。

当两个粒子发生碰撞时（如两个电子），因为它们的质量远远小于其系统内部的内力，故也可按上述过程推导，得到其碰撞前后动量守恒。

2 宏观碰撞过程中的能量转移

2.1 不同碰撞恢复系数的宏观物体碰撞中的动能损失

如图1所示，在光滑地面上有质量分别为m1和m2的两个物体，它们分别以v1和v2的速度相向运动（v1>v2）。随后两物体发生碰撞，碰撞时间为Δt。碰撞后两物体的速度分别为v'1和v'2，碰撞恢复系数为e。

在研究上述场景中的问题之前，需要先明确碰撞恢复系数的概念。碰撞恢复系数是碰撞前后两物体接触点的法向相对分离速度与法向相对接近速度之比，用符号e表示。即：

e=v2f-v1fv1-v2（10）

其中v1、v2分别为第一个和第二个物体在碰撞前的速度，v1f、v2f则分别为第一个和第二个物体碰撞后的速度。

在上述场景中，因整个碰撞的系统所受外力的总和为0，所以根据一中的推导可知，该体系碰撞前后的动量守恒。故有：

m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'（11）

根据碰撞系数的定义，可知：

e=v2'-v1'v1-v2（12）

由于在质心系中碰撞前后相对速度彼此相反，有：

v'1-v'2=-ev1-v2（13）

利用质心系总动量为零和相对速度的定义式，再结合（13）式，容易推出质心系中碰撞后的速度表达式。最后在表达式中代入：

vc=m1v1+m2v2m1+m2（14）

容易得到碰撞后速度：

v'1=m1-em2v1+1+em2v2m1+m2（15）

v'2=m2-em1v2+1+em1v1m1+m2（16）

所以碰撞前系统具有的机械能为：

E1=12m1v21+12m2v22（17）

碰撞后系统具有的机械能为：

E2=12m1v'21+12m2v'22（18）

则其碰撞过程中的能量损失为：

ΔE=E2-E1（19）

经过代入、化简和整理，可得到：

ΔE=ae2+be+c（20）

其中，a、b、c均为由v1、v2、m1、m2通过一定的代数运算所得的常数。所以可以直观的观察到ΔE与e的为二次函数的关系。

为了便于更明显的观察到不同碰撞恢复系数的物体发生碰撞时的动能损失，现绘制了图2的表格图像。

本图中，横轴为碰撞恢复系数e，纵轴为碰撞中的动能损失。为了便于作图，令上述场景中的m1=100kg，m2=50kg，碰撞前两物体的速度分别为v1=10m/s，v2=5m/s。由于v1、v2、m1、m2均为常数，故其取值不影响动能损失与恢复系数的关系。

根据图2，我们可以看出：（1）当恢复系数e=1时，碰撞前后系统并没有动能损失，动能守恒。所以我们将这种碰撞称为完全弹性碰撞。（2）当恢复系数e=0时，碰撞前后系统的动能损失最大。我们将这种碰撞称为完全非弹性碰撞。（3）当恢复系数0

2.2 典型的碰撞中的能量转化形式与方向

能量是物质的时空分布可能变化程度的度量，用来表征物理系统做功的本领。能量具有多种不同的存在形式：按照物质的不同运动形式，我们可以将能量分为机械能、化学能、热能、电能、辐射能、核能、光能、潮汐能等。这些不同形式的能量，可以通过物理效应或化学反应，转化为其他形式的能量。当然，能量的相互转化，必须遵守能量守恒定律，即：“能量只能从一种形式转化为另一种形式，而无法凭空产生或者消灭”。因此在不同形式的能量相互转化的过程中，其量值守恒。而在一个封闭的力学系统中，如果没有机械能与其他形式能量之间相互转换时，则机械能守恒。机械能守恒定律是能量守恒定律的一个特例。

对于宏观物体间发生的碰撞，其能量的转化可较为直观的被人们所察觉。例如当鼓槌与鼓面发生碰撞时，人们会听到“咚咚”的声音，这便是碰撞过程中，系统所具有的动能向声能的一种转化。

3 微观碰撞过程中的能量問题

3.1 对微观粒子抽象化论述

以上对宏观物体的碰撞进行了探讨说明，而对于微粒间的碰撞，如果是非弹性碰撞，则同样存在着多种多样的能量转化形式。在这里，对其中一种可能的粒子间碰撞后转化为光能的情况进行一些定性的讨论。

由于量子力学中的不确定度关系，微观粒子发生碰撞时，微观粒子的速度与位置不可能同时精确的测定出来。以一定的初速度发生碰撞的微粒碰撞后产生的结果也不是唯一的。同时，粒子间的碰撞并不完全与宏观物体间的碰撞相同。

电子之间的碰撞不止发生动能的交换，还会伴随有其他形式的能量转化（如粒子的跃迁或者与粒子产生和湮灭过程相关的能量）。

3.2 粒子间的碰撞

在讨论之前，需要对原子内部的结果有一些了解。原子由携带正电荷的核和携带围绕它旋转的负电荷的核外电子组成。然而，由于电子具有波粒二象性，因此不可能在某一时刻确定它是否是空间中的特定点，并且可以仅指示其在细胞核之外的某处发生的概率。涉及的空间范围称为原子轨道。而在每个原子轨道中，处于不同能级的电子的能量是不同的。

假设存在两个原子（为便于讨论，以氢原子为例），其中氢原子A以一定的初速度撞向另一静止的氢原子B。在这个过程中，A的动能并未全部转化为A与B碰撞后的动能，而是有一部分被氢原子B的原子核外的电子吸收。如果被电子吸收的能量足够大，则有可能使电子发生能级跃迁。

图3 氢原子的能级跃迁示意图

如图3所示，氢原子B的电子在碰撞前处于第一能级，这个状态的电子正处于基态。当氢原子A与氢原子B发生非弹性碰撞后，氢原子A的一部分动能被B中的电子吸收，氢原子B中的电子吸收能量，逃离原子核产生的电磁力的束缚，像更高的能级跃迁，此时的电子处于激发态。当然，由于原子轨道不是连续的，所以只有当B的电子在碰撞中一次性吸收到了足够使它跃迁到下一能级的能量时，它才会进入激发态。

随后，在很短的时间内，由于跃迁到高能级的电子并不稳定，会重新回到低能级，并放出能量。这个过程中，发出的电磁波与电子放出的能量存在以下关系：

ΔE=hν（21）

其中ΔE为电子放出的能量，h为普朗克常数，ν为电磁波的频率。由于每个能级的能量固定，所以根据（20），电子从不同能级跃迁，会放出不同的拥有特定频率的电磁波。当电子跃迁所放出的电磁波恰好处于可见光波段时，我们便会看到产生了可见光。以上整个过程，即为两电子发生碰撞的过程中，动能损失，并向光能进行转化的过程。

以上是粒子碰撞中的能量的一种转化方向，除此以外粒子还可以通过其他途径转化为其他形式的能量，如核能等等。

类比宏观碰撞过程，我们思考关于粒子的碰撞对应宏观的形式和类比性。比较（20）式和（21），（20）式中可以直观的观察到ΔE与e的为二次函数的关系，（21）式中可以直观的观察到ΔE与只与常量有关。用宏观的标准理解，粒子碰撞过程中恢复系数是0，可以理解为两者碰撞后被吸收了，对应于微观的意义，能级的跃迁需要吸收能量。此类比过程对碰撞过程的理解有特殊的意义。

4 总结

动量守恒和能量守恒是研究动力学问题时绕不开的话题。在碰撞过程中，动量和能量实现不同方面的转化。在宏观方面，本文会对不同碰撞恢复系数的物体间的碰撞进行研究，通过构建碰撞模型进行定量计算，并进行绘图分析，从而对自然界中能量形式和转化方向进行了说明。而在微观层面，本文还研究了微观粒子，探讨在发生碰撞的过程中，能量损失的方向和形式。最后仿照物体的恢复系数，类比电子碰撞中的“恢复系数”为0。类比操作对于理解上的创新大于实际的理论意义。本文较详细和系统的说明了一般情况下的碰撞问题，对理解相关问题具有参考意义。

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