一种基于Hohmann最优交会的寻的制导方法

陈长青，解永春，安思颖

(1.北京控制工程研究所，北京100094； 2.空间智能控制技术国防科技重点实验室，北京100094)

1 引言

在交会对接过程中，如何利用尽可能少的燃料完成交会一直是国内外学者研究的热点，而脉冲最优交会是其中的一个重要内容。 典型的最优脉冲交会有4 类[1]：基于脉冲校正理论的最优脉冲交会、Lambert 最优脉冲交会、利用数值方法求解的最优脉冲交会、以及基于邻近圆轨道交会理论的最优脉冲交会。 20 世纪60 年代，Prussing[2-3]针对于邻近圆轨道轨道面内的交会问题，选择半径为两圆轨道平均轨道半径的中间轨道建立参考坐标系，利用线性方程下最优交会时共轭方程和状态方程的独立性，分别对基向量和边界值问题进行求解，完成了最优交会中脉冲时刻、脉冲方向和脉冲大小的求解，可以得到四脉冲、三脉冲、二脉冲等几种最优交会类型，且这些类型在不同的初始条件和交会时间下有确定的分布。 80 年代后，Prussing、Carter 等[4-5]进一步发展了该理论，并应用到非平面邻近圆交会、逃逸、路径约束等交会上[6-8]。 从90 年代开始，国内学者在脉冲最优交会上也做了大量的工作，包含动力学[9]、三脉冲[10]等。 陈长青等[11]把邻近圆轨道最优交会拓展到圆轨道到椭圆轨道最优脉冲交会上，得到最优交会模式的分布图。

交会对接的寻的段要在燃料优化约束下适应并消除远距离导引段采用绝对制导带来的偏差[12]，同时采用测量精度更高的相对导航设计可在轨实施的制导律，目前国内外没有相关文献做详细阐述。 本文从工程实际出发，提出一种基于Hohmann 最优交会的寻的制导方法，设计寻的段初始条件以及在轨实施的制导策略。

2 动力学方程

在寻的段，两个航天器的距离比较近，且飞行轨道相对圆化，可以认为是邻近圆轨道的交会问题。 采用式(1)所示基于圆柱坐标系的无量纲化后的方程描述相对运动[9]：

其中δr 为径向相对位置，δθ描述迹向相对运动。ax、az分别为径向和迹向施加的加速度。式(1)写成状态方程如式(2)：

在动力学方程(1)、(2)式的基础上讨论相对运动的初末状态。 记状态变量 x ＝如图1，目标器在追踪器前方，两者的轨道高度差为δR，初始相位角差为β。则追踪器的始状态为x0＝[- 0.5δR 0 0 0.75δR]T，目标器的末端状态即追踪器希望的末端状态 xF＝ [0.5δR β - 0.75δRtF0 - 0.75δR]T。 通过方程(1)和追踪器的初末状态，可以讨论Hohmann 最优交会。

3 Hohmann 最优交会

3.1 无漂移段的Hohmann 最优交会

Hohmann 变轨针对圆轨道转移，在过渡椭圆轨道半个轨道周期内，通过初末时刻沿切向方向的两个脉冲完成轨道转移。 当轨道机动前后两个圆的轨道半径比小于11.94 时，Hohmann 变轨是最优的转移策略。 下面针对第2 节中的动力学方程和初末状态讨论Hohmann 最优交会的问题。

施加的两个脉冲均为切向脉冲，则边界值问题为式(3)[2]：

图1 相对运动和参考轨道Fig.1 Relative motion and reference orbit

其中x0、xF分别为追踪器的初末状态，Φ 为式(2)的状态转移矩阵， B 为定常矩阵。 当x0＝ [- 0.5δR 0 0 0.75δR]T，xF＝[0.5δR β -0.75δRtF0 -0.75δR]T，交会时间α ＝π 时，可以得到： xF- ΦF0x0＝[δR β - 1.5δRπ 0 - 1.5δR]T，ΦFoBu1＝求解边界值问题(3)可以得到满足Hohmann 最优交会的脉冲大小ΔV1、ΔV2和初始相位角差βH如式(4)：

(4)式给出在动力学方程(1)下Hohmann 最优交会需要的脉冲大小以及追踪器与目标器的初始相位差，只要满足该条件，且交会时间为半个参考轨道的轨道周期，则可完成Hohmann 交会，燃料消耗最省且只与轨道高度有关，为0.5δR。

3.2 带有漂移段的Hohmann 最优交会

3.1 节讨论了不存在漂移段时的Hohmann 最优交会，其对初始相位差和交会时间都有很强的约束，实际任务中不容易满足。 通过让追踪器先自由漂移一段或追踪器到目标点后位置保持一段时间可放松对相位角和交会时间的约束，采用带有漂移段的Hohmann 最优交会来实现，包括只带初始漂移段、只带末端漂移段、初末都存在漂移3种Hohmann 最优交会模式。

1)当只存在末端漂移时，即β ＝0.75πδR，交会时间tF＞π，在t1＝0、t2＝π 分别施加水平脉冲即可完成交会任务，多出的时间tF- π 为末端漂移。 记目标器的末端相位为δθF＝β - 0.75δRtF，则满足带末端漂移段Hohmann 变轨的末端相位δθF与交会时间tF存在式(5)所示的直线关系：

2)只存在初始漂移时，即β ＝1.5δRtF-0.75πδR，tF＞π。 追踪器先需要漂移tF- π 时间，在t1＝tF- π、t2＝tF时施加水平脉冲，完成带初始漂移段的Hohmann 最优交会。 目标器的末端相位δθF与交会时间tF存在如式(6)所示直线关系：

3)如图2 所示，夹在(5)、(6)两式表示的直线中间的所有状态(阴影部分)可以通过同时存在初始和末端漂移的Hohmann 交会实现燃料最优。

图2 Hohmann 最优交会区域Fig.2 Hohmann optimal rendezvous zone

对于确定的交会时间tF和初始相位差β，目标器自由漂移直线如式(7)：

式(7)确定的直线与式(5)确定的直线的交点对应的时间tF0满足该条件下只带初始漂移段Hohmann 最优交会。 当tF＞tF0，则tF-tF0为末端漂移时间(已经完成交会)，这样两个脉冲时刻由式(8)确定：

同时可以求得两个脉冲大小分别为ΔV1＝ΔV2＝0.25δR。

带漂移段Hohmann 最优交会实际上是通过自由漂移获得Hohmann 最优交会所满足的相位和交会时间的要求，两个脉冲之间的时间间隔为半个参考轨道的轨道周期，施加第一个脉冲时，两航天器的相位差是固定的，即βH＝0.75πδR， 其燃料消耗都为0.5δR。

4 Hohmann 最优交会的应用范围

下面讨论在寻的过程中，交会时间为1 个参考轨道的轨道周期时，满足Hohmann 最优交会的最大、最小轨道高度差。

目标器的末端状态与交会时间的关系满足式(7)，而带末端漂移Hohmann 最优交会的直线满足式(5)，所以要完成Hohmann 最优交会，必须β ≥0.75πδR。 直线(6)、(7)相交时，所对应的时间为实际交会时间tF， 且tF＝ (β + 0.75πδR)/(1.5δR)。 在一个轨道周期内完成交会任务，则可以推导得到β ≤2.25πδR。 记βMin＝ 0.75πδR，βMax＝ 2.25πδR，则综合上面两点，满足Hohmann最优交会的初始相位差β 应满足式(9)：

下面分析在(9)式约束下，两航天器的轨道高度差与相对距离dre之间的关系。 如图3，点A、C 分别为目标器和追踪器所在的位置，两者的相位差为β。 β 较小时，三角形ABC 可近似认为是直角三角形，而β 可近似用AB/Rc表示，有两个航天器的高度差可以表示如式(10)：

图3 相对运动分析Fig.3 Relative motion analysis

从式(10)进一步可以得到最大高度差、最小高度差与相对距离存在如式(11)所示线性关系：

通过式(11)可以得到给定的相对距离下，满足带漂移Hohmann 交会的最大最小的轨道高度改变量，且最大最小的轨道高度差与相对距离成比例关系。 表1 给出目标器的轨道高度为6710 km，满足Hohmann 最优交会时追踪航天器与目标航天器的最大、最小轨道高度差。

表1 满足Hohmann 最优交会的高度差Table 1 Height Difference satisfying Hohmann Optimal Rendezvous

目标器轨道高度确定且在交会时间满足式(10)时，对于确定的相对距离，追踪器和目标器的轨道高度差在最大值与最小值之间，利用Hohmann 最优交会理论能完成燃料最优的交会任务。 表1 表明：寻的段利用Hohmann 最优交会理论设计制导律轨道高度有较大的适用范围。 该波动范围可以作为寻的段的初始条件设计的依据。

5 交会对接实施方案

实际工程中测量、导航、制导和控制等均可能存在误差；远距离导引段的终端与寻的段标称位置会存在偏差；追踪航天器和目标航天器不会是圆轨道；最主要的是在寻的段一般有相对测量敏感器，其提供的导航结果相对位置、相对速度的精度远高于Hohmann 变轨中轨道根数的确定精度；所以采用带漂移的Hohmann 交会策略在求解实际脉冲时会存在较大的偏差。

采用综合带漂移Hohmann 交会和CW 制导相结合的多脉冲制导策略。 先用带漂移Hohmann交会策略求寻的段的初始和末端状态、以及寻的段飞行时间；再利用带漂移Hohmann 交会策略求第一个变轨点时间th0和最后一个变轨点时间thF；最后采用CW 多脉冲制导策略求脉冲大小，CW制导的飞行时间为thF- th0，CW 制导可以采用两脉冲制导策略，在精度要求比较高的情况下，可以在两脉冲制导中增加1～3 个修正脉冲。 Hohmann交会的两个脉冲设定如式(12)：

在Hohmann 初始条件下，CW 两脉冲制导平面内的两个脉冲为式(13)：

式(12)～(13)中x 轴方向的分量与Hohmann最优脉冲交会中的脉冲近似表达式是一样的。 两个脉冲的x 方向和z 方向的分量的数量级比为ωh/(πωh2/rB)＝ rB/(πh)，约为100，其对应姿态角在0.57°左右，可以近似认为是水平脉冲。

6 仿真分析

6.1 寻的段两种制导策略精度分析

追踪器和目标器的轨道半径分别为rA＝6689 km、rB＝6710 km， 目标器与追踪器的初始相位角差为β ＝0.007371°， 满足Hohmann 交会，交会时间为tH＝2728.6 s。 可以求得相对状态为： x ＝49.3054 km/s，z ＝21.18172 km/s，x·＝- 36.2096 m/s，z ＝-0.26691 m/s。 CW 两脉冲制导可以求得两个脉冲分别为：ΔVx1＝- 6.368 m/s，ΔVz1＝0.082 m/s，ΔVx2＝- 6.0828 m/s，ΔVz2＝- 0.095 m/s。 两个脉冲水平分量与速度方向的夹角分别为0.73779o、0.89699o，两个脉冲基本上水平的，不需要调姿，与Hohmann 交会的计算结果相当。

6.2 寻的段多脉冲制导仿真分析

寻的段初始时刻两个航天器的轨道设定如表2，采用半长轴a、偏心率E、轨道倾角i、升交点赤经Ω、近地点幅角ω 和真近点角f6 个轨道根数描述：

表2 两个航天器初始轨道Table 2 Initial orbits of two spacecraft

寻的段典型的仿真曲线如图4～5。

图4 寻的段x-z 平面的位置曲线Fig.4 Position Curve in x-z plane for Homing

图5 寻的段相对速度变化曲线Fig.5 Relative Velocity Curve for Homing

从上图4～5 可以看到，采用Hohmann 最优交会和CW 制导结合的多脉冲制导策略能比较精确的把追踪航天器导引到预定的位置上。

7 结论

本文提出了一种基于Hohmann 最优交会的寻的制导方法，确定了相对距离下满足Hohmann最优交会时，两个航天器最大、最小轨道高度差与相对距离成正比。 针对近距离交会特点，提出了一种CW 制导和Hohmann 最优交会模式结合的多脉冲寻的制导策略，CW 制导和Hohmann 最优脉冲交会的在制导脉冲大小、制导精度等方面基本相当。 仿真结果表明，所设计的寻的段初始条件适应范围较大、制导方法是合理有效的、制导精度高，能把追踪航天器高精度地导引到预定的位置，满足任务要求。

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