浅析微分在近似计算中的优势应用

霍龙龙

摘  要：近似计算是在解决问题过程中常用的一种方法，其在数学问题解决中起到着巨大的作用，是一个非常有效的解题工具。在数学分析环节，此类形式应用较多，比如：在函数幂级数的运用、定积分中的运用以及微分中的运用等。微分是高等数学的关键构成内容，函数微分在数学中同样有着广泛的运用。该文就微分在近似计算中的优势应用进行简单的研究。

关键词：微分  近似计算  应用

中图分类号：G64                                    文献标识码：A                         文章编号：1672-3791（2019）03（c）-0224-02

微分是高数的重要知识点之一，近似计算是在解决问题过程中常用的一种方法。微分在近似计算中的运用有着大量优势。因此对微分在近似计算中的运用进行分析具有极为重要的实践价值。

1  微分简介

定义  如果在某个区间内存在定义，及包含在此区间内，则函数的增量为：

即：

其间，A并非是的常数，但比高阶的无穷小，则在点处是可微的;A便是在点处对应自变量增量的微分，为dy，可表示为：。

2  微分在近似计算中的应用

2.1 数列的极限近似计算

在{an}收敛时，则{an}是有极限的，一些数列的极限人们是能够轻易求解出的，但是由一些数列的极限即使存在然而卻无法求解其定值，则此时便需进行近似计算。

假设 a是一个定数，{an}为数列;对于一切正数ε，均有正整数N，使时n>N存在：

那么便可判定数列{an}收敛于a，则a是的极限{an}，记为：

或

例1  证明。

因为：

，，，（n≥3）

所以ε>0，对于任意的，仅需，则有：

也就是，在的时候，，便可成立，因为（n≥3），所以取：

证明：对于任意ε>0，可取。根据分析可知，在n>N时，，便可成立。

2.2 函数增量的近似计算

若在点处可微，那么便可得函数的增量为：

在||无限小的时候，便有：

例  半径为10cm的金属原片在经过加热以后半径增加了0.05cm，问面积增加了多少？

解：假设 A=πr2，r=10cm，△r=0.05cm，那么：

（cm2）

2.3 误差估计

在具体生产过程中，往往需要对各式各样的数据进行测量，然而部分数据是无法直接性进行测量的，此时便需测量与之相关的数据，按照具体公式推演出自己所需的数据。因为测量条件、设备以及方法等所造成的影响，取得的数据通常具备一定的误差，而运用不精准的数据进行计算同样会造成误差。

（1）绝对误差：若某个量的精准数值是A，其近似值是a，则δ=|A-a|便是a的绝对误差。

（2）相对误差：绝对误差δ和|a|之间的比值被称之为的a相对误差。

（3）绝对误差限：如果|A-a|≤δA，那么便是A的绝对误差限。

（4）相对误差限：是A的相对误差限。

在正常状况下，按照直接性测量的值，根据公式计算y值的时候，若已经知晓测量的绝对误差限为，也就是||≤，那么在y′≠0的时候，y的绝对误差为：

也就是：y的绝对误差限近似是，y的相对误差限近似是。

后来，人们往往将相对误差限与绝对误差限简称为相对误差与绝对误差。

例如：若想求解圆的面积S，仅需测量其直径d，接着根据公式便能够求出面积S。因为直径d存在绝对误差△d，因此面积S同样存在绝对误差在近似计算中，当△d无限小的时候，（=dy）。因此能够运用计算出面积S的绝对误差，对存在，因此：

（绝对误差）;（相对误差）

如果已经知晓，那么便能够求解出相对误差限与绝对误差限的分布依次是：

如果是通过测量获得的，量y是根据计算获得的，在测量过程中，的近似值是，。如果已经知道的误差限是，也就是，在无限小时：有

例：如果想要给半径为r的球外表涂上油漆，油漆厚度是△r，问：该层油漆的近似体积是多少？

解：

例：某圆钢截面的直径D=60.03mm，测量D的绝对误差限为δD运用公式对截面积进行计算，问：面积的计算误差是多少？

解：A的绝对误差限近似是：

A的相对误差限近似是：

3  结语

该文主要研究微分的定义，以及微分在数列的极限近似计算、函数增量的近似计算、误差估计的运用，未来我们更加需要研究微分在其他方面的运用。

参考文献

[1] 郑晓珍.高职高专模具设计与制造专业《高等数学》课程之“微分在近似计算中的应用”的教学设计[J].科技信息，2013（8）：274-275.

[2] 缪烨红.高职数学中微分的教学探究[J].赤峰学院学报：自然科学版，2013（22）：11-12.

[3] 郑一.对数微分及其在近似计算中的应用优势[J].青岛建筑工程学院学报，2003（1）：63-67.