充填体荷载作用下采空区顶板稳定性研究

周 平，黄 慎，周 栋

(1.福州大学 紫金矿业学院，福州 350116；2.福州大学 爆炸技术研究所，福州 350116；3.内蒙古广纳煤业集团有限责任公司，内蒙古 鄂尔多斯 016100)

采空区顶板稳定性问题是矿山生产过程中必不可少的考虑因素。当采空区发生失稳、坍塌时，会对空区下工作人员和机械设备等产生巨大的危害，而采空区顶板跨度、空区高度、顶板受力情况等因素发生变化时，都会对空区稳定性产生较大的影响。随着越来越多的矿山采用充填采矿法对矿山进行开采，充填体作用下的顶板厚度的大小已成为一个重要的研究问题。当空区顶板受充填体作用时，顶板厚度过小将无法确保空区的稳定，而顶板厚度过大将造成矿石损失，矿山经济技术指标降低。

传统的采空区稳定性分析方法及顶板厚度计算多采用顶板厚跨比法、鲁佩涅依特理论、荷载传递线交汇法等。这些传统的方法都为半定量分析法，不能很好地反映采空区的破坏机制以及顶板受力情况。岩小明等[1]采用数值模拟的分析方法对采空区顶板稳定性及空区顶板厚度进行评判和计算。但由于岩体结构参数、物理参数等的复杂性与不确定性，数值模拟过程的冗杂繁复性，使得数值模拟得到的结果可靠性不足，不能直接被现场工程设计所采用。陈强等[2]采用灰色关联分析等模型预测的方法对采空区危险度、稳定性程度进行分析评价，此类方法虽能反映多种因素对采空区稳定性的影响，但由于不同的采空区环境所受因素不尽相同，不仅推广性差，且不能给出顶板厚度大小的确定方法。因此，采用理论分析计算的方法对充填体作用下空区顶板进行稳定性分析，并求得空区顶板厚度的计算公式对矿山现场工程设计具有重要的指导意义。

王金安等[3]运用弹性薄板理论，流变力学理论对矿山采空区矿柱—顶板体系稳定性进行研究，并预测采空区稳定时间。林杭等[4]采用折减理论对采空区顶板安全厚度进行预测。赵延林等[5]结合突变理论对采空区顶板稳定性进行分析研究。徐晓鼎等[6]基于检点突变模型得出矿柱的几何参数对于顶板稳定性影响的敏感度分析。突变理论作为一门新兴学科，已经广泛应用于滑坡[7]、巷道失稳、底板突水、岩爆[8]等众多工程领域中，且取得了较理想的效果。

1 突变失稳机制的数学理论

突变理论是Rene Thom在1972年提出的非线性数学理论，用于研究系统状态从一个稳定状态转变为另一个稳定状态的现象和规律。现已成为一种研究当外界影响因素连续变化，而系统的状态发生突变的主要数学理论。应用突变数学理论解决问题的关键在于将要研究的问题建立正确的、合适的突变模型。Rene Thom指出，在控制变量≤4，状态变量≤2的情况下，其突变模型最多可以有7种。由于Rienan-Hugonioc点突变模型属于比较简单的模型，有两个控制变量，一个状态变量，而且具有多种模态性、发散性、滞后性等特点。所以Rienan-Hugonioc点突变模型应用最为广泛，实际的工程问题通常转换为Rienan-Hugonioc点突变模型进行分析讨论。

本文采用Rienan-Hugonioc点突变模型对充填体荷载作用下采空区顶板稳定的分析步骤如下：

1)根据充填体荷载作用下采空区顶板的受力特点、结构特征建立相应的力学结构模型。

2)依据已建立的力学结构模型，求出系统的总势能方程，再利用数学公式将其转化为Rienan-Hugonioc点突变模型的标准形式：

V(x)=x4+mx2+nx+b

(1)

3)对势函数V(x)求一阶导，得到一个由两个控制变量，一个状态变量组成的平衡曲面M(见图1)。平衡曲面M上的所有点(u,v,x)为势函数V(x)的平衡点。

(2)

通过对势函数V(x)求二阶导，可得到奇异点的方程：

(3)

图1 系统平衡曲面Fig.1 System balance surface

联立式(2)、式(3)消去x(相当于将平衡曲面M上奇异点投影到控制曲面)，得到系统的稳定性平衡方程即分叉点集方程：

Δ=8m2+27n2=0

(4)

4)当系统的两个控制变量m、n满足式(4)时，系统处于临界平衡状态，此时Δ=0。当控制变量m、n发生变化时，岩体将发生失稳破坏，此时Δ<0。在临界平衡状态之前，系统处于稳定状态，此时Δ>0。

2 充填体下采空区顶板突变模型

2.1 充填体下采空区顶板力学模型

充填体下采空区顶板可简化为图2所示力学模型。图中，h为顶板厚度，q2椭圆形顶板上方充填体对其施加的均布载荷。

该椭圆形顶板结构在采矿结束后处于稳定状态，当进行充填时，或采空区充填完毕进行下阶段开采时，顶板结构在力的变化下，将从原来的稳定平衡状态向失稳状态发生变化，而突变就是一种常见且重要的失稳形式。因此充填体下顶板结构稳定性适合转化为Rienan-Hugonioc点突变模型进行分析讨论。

图2 顶板简化力学模型Fig.2 Roof simplified mechanical model

2.2 充填体下采空区顶板结构Rienan-Hugonioc点突变模型

根据充填体作用下采空区顶板受力情况，系统总势能包括顶板弯曲形变势能V1，顶板岩层中面应变势能V2，顶板自重q1在轴向位移所做的功V3，顶板自重q1在径向位移所做的功V4，充填体作用力q2在轴向位移所做的功V5，充填体作用力q2在径向位移所做的功V6。

1)顶板弯曲形变势能V1：

(5)

2)顶板岩层中面应变势能V2：

(6)

3)顶板自重q1在轴向位移所做的功V3：

(7)

4)顶板自重q1在径向位移所做的功V4：

(8)

5)充填体作用力q2在轴向位移所做的功V5：

(9)

6)充填体作用力q2在轴向位移所做的功V6：

10)

顶板力学系统的总势能为：

V=V1+V2+V3+V4+V5+V6

(11)

将式(5)～(9)代入式(10)得到充填体作用下顶板结构的总势能函数表达式：

(12)

式中：

m3=0.042(q1+q2)π

令：

利用Tschirnhaus变换：

则式(12)化为：

(13)

对式(13)进一步简化得：

(14)

式中：

对式(14)求一阶导数得到系统平衡曲面方程：

(15)

对式(14)求二阶导数得到系统奇异点的方程：

(16)

联立式(15)和(16)求得系统分叉集方程：

Δ=4κ3+27λ2

(17)

3 基于充填体下采空区稳定的顶板安全厚度的确定

由图1可知，采空区失稳的条件为κ≤0，此时平衡点才有跨越分叉集的可能性。所以采空区顶板失稳的充要条件为κ≤0，即：

10-7(q1+q2)2

综合推导得到采空区顶板失稳临界厚度为：

(18)

式中：

根据充填体荷载作用下顶板的破坏特征，式(18)在具体的矿山开采实践过程中有如下作用[10]：

1)对于由下阶段开采形成的充填体下采空区顶板结构，可利用上式进行顶板厚度的参数设计，为取得合理、安全的顶板厚度提供依据。

2)对于由上阶段开采形成的充填体下采空区顶板结构，在充填前可以利用上式对预留设的顶板厚度进行尺寸校核，以确定预留设顶板尺寸是否符合稳定性标准，不符合时需要通过加固顶板、提高充填体的强度等措施对顶板结构进行维护，从而确定上阶段采空区充填后不会使顶板失稳破坏。

4 采场实例验证

福建某多金属(主要金属为铜、金、银)矿赋存于燕山期花岗岩中，矿体走向长368 m，沿倾向长425 m，平均厚度为10.2 m，倾向NE—SW，倾角在0°～15°，矿体呈似层状，透镜状，脉状和扁豆状，矿体厚度变化较稳定。该矿山当前采矿方法为浅孔留矿嗣后充填采矿法，矿房沿垂直矿体走向布置，实行由下至上的回采顺序。矿房尺寸为50 m×25 m×60 m(长×宽×高),矿柱尺寸为10 m×20 m×60 m(长×宽×高)。矿山当前预留顶板厚度为8～12 m，实际回采过程中根据生产经验和地质条件进行适当调整。

结合该矿山采场实际回采情况，在-160 m中段矿房已充填完毕的情况下，现对-220 m中段的顶板稳定性进行分析。该矿区矿岩和充填体的各类物理力学性质见表1。

表1 岩(矿)体物理力学参数

则由该矿山充填条件可知，充填体作用于顶板的均布荷载应包括上覆岩层荷载和充填体自重荷载这部分的加和，即：

q2=21.8×60+29.3×500=15 958 kN/m2

代入相应参数值到式(18)可以确定该顶板的厚度为：

取顶板安全系数为2[9]，则顶板稳定临界厚度h=5.74 m。通过理论计算所得顶板稳定的临界厚度小于回采预留顶板厚度，认为目前采场顶板稳定安全。

5 结论

本文基于突变理论和采空区顶板结构力学模型，将顶板结构简化为椭圆形顶板。基于顶板稳定性分析的基础上，得到如下结论：

1)依据Rienan-Hugonioc点突变模型构建其力学模型。分析得出顶板厚度对于充填体下采空区顶板稳定起着决定性作用。在地质条件和矿岩力学性能确定的情况下，顶板的厚度对于采空区顶板的稳定起着决定性的作用。

2)根据顶板Rienan-Hugonioc点突变模型的充要条件，结合Tschirnhaus变换，推导出充填体下采空区顶板安全厚度的表达式，为充填体下采空区顶板厚度的设计和安全校核提供理论依据。

3)根据推导所得公式对于具体矿山回采设计中顶板厚度的确定，具有一定的指导意义。在简化模型的计算基础之上，选取合理的安全系数，得到该矿山在上阶段采空区充填时，安全的顶板厚度为5.74 m，小于该矿山预留顶板厚度值，认为该矿山采空区顶板在充填条件下可保持稳定。