高中数学中曲线对称的解法及应用

【摘 要】对称问题是高中数学重点和难点的内容之一，本文主要介绍曲线关于点和直线的对称问题以及曲线自身的对称问题；通过这两个方面的总结，使学生在高考中碰到对称问题能够迎刃而解。

【关键词】对称；点；直线；曲线

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）13-0291-01

一、求曲线关于点的对称曲线方程

若求曲线F（x，y）=0关于点的对称问题即可以转化为曲线上的点关于点的对称问题解决，即任取曲线F（x，y）上任意一点（x，y）关于已知点的对称点来替换曲线F（x，y）=0中相应的坐标即可。

1.曲线F（x，y）=0上任意一点（x，y）关于（x0，y0）对称的曲线方程是F（2x0-x，2y0-y）=0

特别地，曲线F（x，y）=0关于原点（0，0）对称的曲线方程是F（-x，-y）=0

二、求曲線关于直线的对称曲线方程

若求曲线F（x，y）=0关于直线的对称问题即可以转化为曲线上的点关于已知直线的对称问题解决，即任取曲线F（x，y）上任意一点（x，y）关于已知直线的对称点替换F（x，y）=0中相应的坐标即可.

1.曲线F（x，y）=0关于直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）对称的曲线方程是

证明：设A（x0，y0）为曲线F（x，y）=0上的点，A关于l的对称点为B（x1，y1），则有

则

故所对应的曲线方程为

特别地，

①曲线F（x，y）=0关于x轴的对称和y轴的对称的曲线方程是F（x，-y）=0和F（-x，y）=0；

②曲线F（x，y）=0关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0；

③曲线F（x，y）=0关于直线x=m和y=n对称的曲线方程是F（2m-x，y）=0和F（x，2n-y）=0.

三、中心或者轴对称曲线自身的对称问题

曲线F（x，y）=0为中心或轴对称图形的充要条件是曲线上任意一点P（x，y）关于中心或轴对称的点仍在曲线上（坐标替换曲线中相应的坐标曲线的方程不变）.

1.f（x）为定义在R上函数，a为常数，若对任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x），则y=f（x）的图像关于直线x=a对称.

证：令x=x-a，则有f（x）=f（2a-x），设A（A0，f（x0））为曲线上的点，且B（2a-x0，f（2a-x0））也在曲线上，并关于A对称，则A，B的中点为（a，f（x0）），故此曲线关于x=a对称

2.f（x）为定义在R上函数，a，b为常数，若对任意的x∈R，都有f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）的图像关于直线x=a+b2对称.

证：令x=x-a，则有f（x）=f（a+b-x），设A（x0，f（x0））为曲线上的点，且B（a+b-x0，f（a+b-x0））也在曲线上，并关于A对称，则A，B的中点为（a+b2，f（x0）），故此曲线关于x=a+b2对称

3.f（x）为定义在R上函数，a，b为常数，若对任意的x∈R，都有f（a+x）=-f（b-x），则y=f（x）的图像关于M（a+b2，0）成中心对称.

证：证法同2，此时只需证出A，B的中点为（x=a+b2，0）即可。

参考文献

[1]王朝银.新课标创新设计.西安：陕西人民出版社，2011.

[2]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略.海南：南方出版社，2012.

作者简介：柳静（1985.9-），女，湖北黄冈人，六盘水市第一实验中学，中学一级教师，研究方向：高中数学教学。